专题01 数轴中的数形结合-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题01 数轴中的数形结合 一、利用数轴比较数的大小 【学霸笔记】 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 【典例】 已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“＜”连接. 【解答】由题意，在数轴上分别画出所对应的点，如图所示： 由数轴可得. PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小. 【巩固】 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①ab+ac＞0；②a+b﹣c＞0；③1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、数轴上的距离问题 【学霸笔记】 1. 数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离. 2. 数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示： 若，则，反之亦成立. 【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d﹣2a＝9，那么数轴的原点应是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【解答】B 【解析】根据题意，知d﹣a＝7，即d＝a+7， 将d＝a+7代入d﹣2a＝9，得：a+7﹣2a＝9， 解得：a＝﹣2， ∴A点表示的数是﹣2， 则B点表示原点． 故选：B． 【巩固】在数轴上，若N点与原点的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是 . 三、数轴上的动点问题 【典例】如图所示，A是数轴上表示﹣30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒） （1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？ （2）当t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PM﹣PN＝2时t的值． 【解答】见解析 【解析】（1）A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动， 当点A运动到点C左侧时， ∵线段AC＝6， ∴6+6t＝30+18+3t， 解得：t＝14； 当点A运动到点C右侧时， 则6t﹣6＝30+18+3t， 解得：t＝18； 故当t为14或18秒时，线段AC＝6； （2）当A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t秒时， A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为：6t﹣30，10+3t，18+3t， ∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点， ∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：，，， ∴M在N左边． ①若P在M，N左边，则PM20﹣1.5t，PN24﹣1.5t． ∵2PM﹣PN＝2， ∴2（20﹣1.5t）﹣（24﹣1.5t）＝2， ∴t； ②若P在M，N之间，则PM20+1.5t，PN24﹣1.5t． ∵2PM﹣PN＝2， ∴2（﹣20+1.5t）﹣（24﹣1.5t）＝2， ∴t； ③若P在M，N右边，则PM20+1.5t，PN24+1.5t． ∵2PM﹣PN＝2， ∴2（﹣20+1.5t）﹣（﹣24+1.5t）＝2， ∴t＝12， 但是此时PM＝﹣20+1.5t＜0，所以此种情况不成立， ∴t或． 【巩固】如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 　　，点B表示的数是 　　，点P表示的数是 　　（用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 巩固练习 1．如图，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则与点C所表示的数最接近的整数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，那么现在　　队赢了． 3．张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后使点B到点A重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这