2022年中考数学一轮综合复习导学案（8）几何辅助线画法归纳

专题培优 年级： 班级： 姓名： 制作人： 2021-2022学年度中考二轮综合复习导学案（8） 模块八：几何辅助线的画法专项 ❤知识总结❤ 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）α β 图二 2α 1α β α 图一 二、中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线 （1） 延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。 （2） 构造中位线，如图三 （3） 构造直角三角形斜边上的中线，如图四。 图一 图二 图三 图四 三．角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种： 1. 以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。 2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。 图一 图二 图三 四、线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种： 1. 短延长：若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,然后证明AM=c； 2. 长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,然后证明MB=b。 五、垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有： 1. 同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系； 2. 同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。 六、梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为： 转化 分割、拼接 梯形问题 三角形或者平行四边形问题 在转化、分割、拼接时常用的辅助线： 1. 平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。研究有关腰的问题时常用平移一腰。 2. 过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。 3. 平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转化为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。 ❤常见几何基本图形及结论❤ 分别平分，则 分别平分，则 分别平分，则 注：2、3、4为内心和旁心的性质之一 分别平分和，则 在中，为斜边的中点， 则：① ② ③ 7、正方形中，，则 8、在中，.则 在中，，为斜边的中点，且， 则 四边形中，，则 （特别地，当四边形为圆内接四边形时有） 矩形及任意一点，都有 中，平分，则（截长、补短） 中，，则： 14、都是等腰直角三角形，①，则为的中点. ②为的中点，则. 15、为正三角形，则①；②平分 16.正中，，则. 17、中，，若分别为1,2,3，则 18、射影定理：①，②，③ 等积原理： 19、三角形角平分线定理：平分，则有. 20、，则∽ 21、中，平分，是上的动点，的中垂线交延长线于点，直线交于，则：∽. 22、等腰直角三角形中的一种几何构造方式 在中， 构造：连，过作的垂线交于 四、直线及坐标系知识补充 1、两点间的距离公式：，则 2、中点公式及推论： 线段中点，则 推论1： 推论2：平行四边