3.2.1双曲线的标准方程-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线的标准方程 培优第一阶---基础过关练 一、单选题 1．已知，动点P满足，则P点的轨迹是 A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 【答案】D 【分析】利用，从而可以判断点轨迹是一条射线 【详解】由于，即， 所以点轨迹是一条射线， 故选：． 【点睛】本题考查双曲线的定义，应注意定义中的条件，否则会出错． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：； 根据双曲线定义知：，解得：（舍）或. 故选：B. 3．设非零实数，使得曲线：是双曲线，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程的特征判断即可得出结果. 【详解】曲线：是双曲线，则实数，异号，即. 故选：C 4．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出a,b即可求得答案. 【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为. 故选：C. 5．双曲线的焦点坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将双曲线方程化成标准式，即可得到，，从而求出，即可得到焦点坐标； 【详解】解：双曲线，即，所以，， 所以，即，所以焦点坐标为； 故选：B 6．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意给的概念可知所求方程表示点（x,1）到定点（-3,0）和（3,0）的距离之差等于4，结合双曲线的定义求出双曲线方程，令，求出x即可. 【详解】由可得 4 表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4， 由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点， 的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为， 令可得，因为，所以， 即方程的解是， 故选：C. 7．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A． 8．若方程表示双曲线，则实数m满足（       ） A．m≠1且m≠－3 B．m＞1 C．或 D．－3＜m＜1 【答案】C 【分析】方程表示双曲线等价于，即可列出不等式，即可解出答案. 【详解】因为方程表示双曲线，而恒成立， 所以，解得或， 故选：C． 二、填空题 9．设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】解：由双曲线C：，可得，， 所以，所以，，由双曲线的定义可得， 所以，所以， 由双曲线的性质可知：，令，则， 所以，记， 设，则， 所以，即在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）． 故答案为：8． 10．能说明“，则方程 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_________（答案不唯一，满足条件即可） 【答案】，（答案不唯一，满足或即可） 【分析】根据方程表示椭圆和双曲线的要求可得曲线既不是椭圆也不是双曲线时满足的条件，选取一组满足条件的数字即可. 【详解】若方程表示椭圆，则； 若方程表示双曲线，则； 则只需满足或，则方程表示的曲线既不是椭圆也不是双曲线， 则一组不满足题意的解为，. 故答案为：，（答案不唯一）. 11．已知点在双曲线左支上，是其左、右焦点，若，______. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理求解. 【详解】设， 由双曲线的定义得， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以. 故答案为： 12．经过点和的双曲线的标准方程是________. 【答案】 【分析】依题意设双曲线的方程为，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：设双曲线的方程为，则，解得， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，属于基础题. 三、解答题 13．相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当