全书-2022-2023学年高中数学必修5【金版新学案】同步导学教师用书（北师大版）电子教辅

§1　数　列 1．1　数列的概念 [入门答疑] [问题1]　将前5个正整数的倒数按由大到小排成一列1，，，，.若写成，，，，1还符合要求吗？ [提示]　排成一列时要求从大到小，所以写成，，，，1，不符合要求． [问题2]　函数f(x)＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}的图像上共有5个点，它们是(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)，(5，11).能说f(x)的图像是直线吗？ [提示]　f(x)＝2x＋1是一次函数，所以图象是直线，当x∈{1，2，3，4，5}时图象只是5个对应点，所以f(x)的图象不是直线． [新知初探] 知识点一　数列及有关概念 1．数列的有关概念及表示 一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 2．数列的分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 数列的概念 1．数列中的数是按一定顺序排列的． 如果两个数列中的数相同但其排列的顺序不同，也是不同数列．如1、2、3、4、5与5、4、3、2、1是不同的数列． 2．数列{an}中的{an}是简记符号，它并非一个集合，如数列表示数列，，，…，，….另外同一个数可以在数列中重复出现：如数列1，1，2，2，3，3，…. 3．数列的项与项数是两个不同的概念：数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，即an值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，即n值． 知识点二　数列的通项公式 1．数列的函数刻画 从函数观点看，数列可以看成是以正整数集N＋或其有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数an＝f(n)，当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，其图像为一组离散的点． 2．通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式． 　数列的通项公式 　对于数列通项公式的理解应注意以下几点： 1．如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是该数列中的一项，如果是，是第几项． 2．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 例如，的不足近似值精确到1，0.1，0.01，0.001，…，排列成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式． 3．一些数列的通项公式可以有不同的形式． 例如，－1的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…排列成一列数为－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝，等等．这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一个数列． [自主练习] 1．将正整数的前5个数排列： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2. 那么可以称为数列的有(　　) A．①　　　　　　　　　　　　 B．①② C．①②③ D．①②③④ 解析：　数列是按“一定顺序”排列着的一列数．因此选D． 注意此题易错选B． 答案：　D 2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·，则a10＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：　a10＝(－1)10·＝. 答案：　A 3．已知数列{an}的通项公式an＝，那么这个数列的第10项是________，是这个数列的第________项． 解析：　a10＝＝；令＝，解得n＝50. 答案：　　50 4．写出数列，，，，，…的一个通项公式，并判断3是否为这个数列的项，若是，是第几项． 解析：　由已知可得数列的通项公式为an＝， 令＝3，则4n－1＝99， ∴n＝25，∴3是这个数列中的项，且是第25项． 题型一　由数列的前几项写出数列的通项公式 写出下列数列的一个通项公式． (1)5，10，15，20，25，…； (2)5，10，20，40，80，…； (3)1，－3，5，－7，9，－11，…； (4)1，11，111，1111，…； (5)，，，，…； (6)1，2，1，2，1，2，…. [思路点拨]　(1)分析序数n与项an之间的变化规律； (2)间接地利用项与项特别是相邻项之间的关系入手解决． 解析：　(1)a1＝5，a2＝10，a3＝15，a4＝20，… 归纳得an＝5n. (2)a1＝5，a2＝10，a3＝20，a4＝40，…可以看作a1＝5×1，a2＝5×2，a3＝5×22，a4＝5×23，…归纳得an＝5×2n－1. (3)每一项正负相间，考虑(－1)n＋1具有转