全书-2022-2023学年高中数学必修3【金版新学案】同步导学教师用书（人教A版）电子教辅

1.1　算法与程序框图 1.1.1　算法的概念 目标导航 1.了解算法的含义，体会算法的思想． 2.在分析实例的基础上了解算法的基本特征． 3.能够用自然语言描述一些具体问题的算法． [走进教材] 1．算法的概念 2．算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题． [名师指津] (1)算法与问题的解法的关系 ①算法与数学问题中的解法是有区别的．算法是解决某一问题所需要的程序和步骤的统称，它可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程，是具体的解题过程． ②算法与数学问题中的解法又有一定联系：它们是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获取要借助一般意义上具体问题求解的方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决． (2)设计算法时注意的问题 ①算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解． ②一个具体问题的算法不唯一，如解二元一次方程组的算法就有消元法、代入法两种．由于传统数学问题解法的不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一． ③不同的算法有简繁、优劣之分，但每一种都会使问题有一个最终的结果．对于一个具体的问题，我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法，即最优算法. [自主练习] 1．下列叙述不能称为算法的是(　　) A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海 B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1 C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22 D．解方程x2－2x＋1＝0 解析：　 A × A，B两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法 B × C × 利用公式计算也属于算法 D √ 只提出问题没有给出解决的方法，不是算法 答案：　D 2．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是(　　) A．只能设计一种算法 B．可以设计多种算法 C．不能设计算法 D．不能根据解题过程设计算法 解析：　一元二次方程的求解过程可以用公式法和分解因式法进行，也可用配方法求解，可根据不同的解题过程来设计算法，故可以设计多种算法，但几种算法输出的结果是一样的． 答案：　B 3．已知一个算法如下： 第一步，令m＝A． 第二步，如果b<m，则m＝B． 第三步，如果c<m，则m＝C． 第四步，输出m. 如果a＝3，b＝6，c＝2，则执行这个算法的结果是________. 解析：　这个算法是求三个数a，b，c中的最小值． 答案：　2 4．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线AB的斜率的一个算法如下： (1)输入x1、y1、x2、y2的值． (2)计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1. (3)若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)，k＝__①__． (4)输出斜率k. 则①处应填________． 解析：　由斜率的计算公式应填. 答案：　 题型一　算法的概念 下列关于算法的说法，正确的有(　　) ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限次之后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路探究]　明确题意，根据算法的特征逐一作出判断 解析：　由算法的概念，知②③④正确，而解决某类问题的算法不一定是唯一的，从而①说法不正确．故选C． 答案：　C [规律方法]　理解算法的关键点 (1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． (2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成． [变式训练] 1．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是(　　) ①S＝2＋4＋6＋…＋1 000； ②S＝2＋4＋6＋…＋1 000＋…； ③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N). A．①②　　　　　　　　　　B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：　由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果． 答案：　B 题型二　算法的设计 写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法． [思路探究]　解一元二次方程的方法很多，此处，我们用因式分解法、配方法、公式法写出算法 解析：　法一：算法如下． (1)将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.① (2)由①得x－3＝0，②或x＋1＝0.③ (3)解②得x＝3，解③得x＝－1. 法二：算