专题06反比例函数的性质与应用（真题6道模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用） 专题06反比例函数的性质与应用（真题6道模拟30道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 1.反比例函数的图象及性质 　（1）双曲线与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （2）对称性 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上． 图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上． （3）k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是|k|）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|． 　　　　　　　　　　 　　 　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2 2.反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． （4）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y＝的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．求： （1）这个反比例函数的解析式； （2）直线AB的表达式． 【例2】（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2001•上海）如图，已知点A（2，m），B（﹣1，n），在反比例函数的图象上，直线AB与x轴交于C点． （1）求直线AB的解析式； （2）如果点D在y轴上，且DA＝DC，求点D的坐标． 2．（2006•上海）如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y＝的图象经过点A． （1）求点A的坐标； （2）如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B，且OB＝AB，求这个一次函数的解析式． 3．（2007•上海）如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB． （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式． 4．（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1． （1）求b的值； （2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式． 【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优 一．解答题（共30小题） 1．（2022•嘉定区二模）已知直线y＝kx+4（k≠0）与双曲线都经过点A（2，m）． （1）如果点B（﹣2，6）在直线y＝kx+4（k≠0）上，求m的值； （2）如果第三象限的点C与点A关于原点对称，点C的纵坐标是﹣3，求双曲线的表达式． 2．（2022•徐汇区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（a，4），点B为直线y＝2x上一点，且AB＝2OA． （1）求反比例函数y＝的解析式； （2）过点B作BC∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点C，求△ABC的面积． 3．（2022•杨浦区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分