2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）

2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试） （附答案与详细解析） 一、填空题。 1．函数y＝的值域为　 　． 2．x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　 　． 3．已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　 　． 4．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　 　． 5．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　 　． 6．已知向量，，满足||＝3，||＝2，•＝6，且（）（+2）＝0，则|+|最小值为 　 　． 7．已知直线y＝ax+2与三次曲线y＝x3﹣ax有三个不同交点，则a的取值范围为 　 　． 8．在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且|AM|＝5，设异面直线AM与BC所成的角为α，则|cosα|最大值为 　 　． 9．方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解个数为 　 　． 10．设F，l为双曲线＝1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y＝x的直线，交椭圆Γ于A，B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 　 　． 2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试） 参考答案与试题解析 一、填空题。 1．函数y＝的值域为　[1，2]　． 【分析】求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出相应的函数值，即可得到值域 【解答】解：∵y＝ ∴解得4≤x≤5 又y′＝ 令y′＞0解得，令y′＜0，得，故当函数取到最大值2 又x＝4时，y＝，x＝5时，y＝1 函数y＝的值域为[1，2] 故答案为[1，2] 【点评】本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出，故采取了求导的方法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题关键是熟练掌握求导公式，以及掌握导数法确定函数单调性的步骤． 2．x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　　． 【分析】由同角三角函数的平方关系，可得y＝cosx﹣cos3x，令t＝cosx∈（0，1），再求导，判断函数f（t）的单调性，然后求其最大值，即可． 【解答】解：y＝sin2xcosx＝（1﹣cos2x）cosx＝cosx﹣cos3x， 令t＝cosx，则f（t）＝t﹣t3，f'（t）＝1﹣3t2， 因为x∈（0，），所以t∈（0，1）， 令f'（t）＝1﹣3t2＝0，则t＝±， 所以f（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减， 所以f（t）max＝f（）＝，即函数y的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值，还涉及同角三角函数的平方关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 3．已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　　． 【分析】直接利用柯西不等式的应用求出结果． 【解答】解：已知x、y、z满足x+y+z＝1，利用柯西不等式， 整理得，当且仅当x＝4y＝9z，即x＝，y＝，z＝，时，等号成立， 故x2+4y2+9z2的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 4．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　1　． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，求出sinA＝cosA，即可求解． 【解答】解：∵acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA， ∴由正弦定理可得，sinAcosC﹣sinBcos2A＝sin2AsinB﹣sinCsinA， ∴sinAcosC+sinCsinA＝sinB（sin2A+cos2A）＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， ∴sinCsinA＝cosAsinC， ∵sinC≠0， ∴sinA＝cosA， ∴tanA＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题． 5．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　[4，+∞）或（﹣∞，0]　． 【分析】由题意可知＝＝＝++2．由此可知的取值范围． 【解答】解：在等差数列中，a1+a2＝x+y；在等比数列中，xy＝b1•b2． ∴＝＝＝++2． 当x•y＞0时，+≥2，故≥4； 当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0． 答案：[4，+∞）或（﹣∞，0] 【点评】本题考查数列的性质和