专题4-1 三角函数恒等变形-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题4-1 三角函数恒等变形 目录 一、热点题型归纳 【题型一】辅助角1：基础（化正与化余） 1 【题型二】辅助角2：非特殊角的辅助角 3 【题型三】辅助角3：最值 4 【题型四】恒等变形1：“互余与互补”拆角 7 【题型五】恒等变形2：拆角（和与差） 8 【题型六】恒等变形3：拆角（30，60等） 11 【题型七】恒等变形4：拆角（分式型） 12 【题型八】恒等变形5：正切 13 【题型九】恒等变形6：求角 15 【题型十】恒等变形7：二倍角与降幂 17 【题型十一】恒等变形8：正余弦对偶式（平方） 18 【题型十二】恒等变形9：正余弦对偶（和、差与积） 20 二、真题再现 22 三、模拟检测 25 【题型一】辅助角1：基础（化正与化余） 【典例分析】 化简： 解：化正 化余： 【提分秘籍】 基本规律 特殊角的的辅助角，源于正余弦“两角和与差”公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) 正余余正 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) 正余余正 正角 减 余角 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) 余余正正 偶函数。谁 减 谁 无所谓cos(α－β)=cos(β－α) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) 【变式演练】 1.化简： 答案： 2化简： 答案： 3.（2021·全国·高三课时练习）若，则k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可. 【详解】∵， ∴所以.故选：B. 【题型二】辅助角2：非特殊角的辅助角 【典例分析】 （2022·全国·高三课时练习）当函数取得最大值时，的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果. 【详解】，其中，， 当时，函数取得最大值，此时， ∴，， ∴ 故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公式是远远不够的，要学会推导过程。知其然知其所以然。并且，深层次应用，不仅仅会“化正”，更要会“化余”。 【变式演练】 1.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可. 【详解】，其中为锐角，. 因为当处取得最大值，所以，， 即，， 所以. 故选：A 2.已知，则tana= 3.（2020·全国·高三课时练习）若函数f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式把目标函数化简，求出的值，从而可得sinα的值. 【详解】， 设，则. 由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为， .故选B. 【题型三】辅助角3：最值 【典例分析】 已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案． 【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，， ，，，②， ①②得，，即，解得，（舍去）， 由①得，，，在第一象限，取，， 由，即，，，，， 使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B 【提分秘籍】 基本规律 辅助角满足： 【变式演练】 1.（2020·江西·南昌市八一中学高三开学考试）函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先利用三角恒等变化公式将函数化成的形式，然后直接得出最值. 【详解】 整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A. 2..若，函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先利用辅助角公式对化简，可得，再利用的值域，可求出的范围，即得，再结合余弦函数的单调性，，，即可求出的取值范围. 【详解】 ，其中，， 因为，所以， 令，则的值域为，可得的值域为 又因为，所以， 即，且单调递减， 因为， ， 所以的取值