1.2.1 等差数列及其通项公式（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P169] 1．(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　解析：根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列． 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　解析：由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A． B．± C．－ D．－ D　解析：由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，所以a7＝. 所以tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－. 4．(多选题)已知数列{an}为等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．an＋1＝an＋d(d为常数) B．数列{－an}是等差数列 C．数列是等差数列 D．an＋1是an与an＋2的等差中项 ABD　解析：因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d，所以A正确； 因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，那么(－an＋1)－(－an)＝－(an＋1－an)＝－d，所以数列{－an}是等差数列，故B正确；－＝＝，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；根据等差数列的性质可知2an＋1＝an＋an＋2， 所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确． 5．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11等于(　　) A．0 B． C． D． A　解析：∵＝，＝， ∴＝，＝－×2＝. ∴＝＋(n－1)×. ∴＝＋＝＝1. ∴a11＝0. 6．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________． 2　解析：因为数列{an}为等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am.所以am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 7．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值； (2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79. 解：(1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8. 又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4. (2){an}是等差数列，可设公差为d. 由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2. 又∵a79＝a59＋20d，∴a79＝100＋20×2＝140. 8．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证：数列{an}为等差数列． 证明：因为an＝10＋lg 2n＝10＋n lg 2， 所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2. 所以数列{an}是首项为10＋lg 2、公差为lg 2的等差数列． 9．(多选题)设d为正项等差数列{an}的公差，若d>0，a3＝2，则(　　) A．a2·a4<4 B．a＋a4≥ C．＋>1 D．a1·a5>a2·a4 ABC　解析：由题知，只需⇒0<d<1，a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d2<4，A正确； a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6≥，B正确； ＋＝＋＝>1，C正确； a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d2<0，所以a1·a5<a2·a4，D错误． 10．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________． －　解析：a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95，依题意得，，成等差数列，所以2×＝＋.所以m＝－. 11．设数列{an}满足当n>1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的