2.2.4 均值不等式-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握均值不等式 ≤(a，b≥0).2.能用均值不等式求最大值或最小值． 教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.利用均值不等式求最值． 教学难点：均值不等式条件的创造． 核心素养：1.通过两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式的过程培养数学抽象素养.2.通过灵活变换条件使用均值不等式解决最值问题培养逻辑推理素养和数学运算素养. 　 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值． 知识点二　均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.我们把这个不等式称为均值不等式． 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 知识点三　均值不等式与最大(小)值 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值(简记：积定和有最小值)． (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值(简记：和定积有最大值)． 1．由均值不等式变形得到的常见的结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)≤≤ (a，b均为正实数)； (3)＋≥2(a，b同号)； (4)(a＋b)≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．应用均值不等式求最值的原则 利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合均值不等式≥ 成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)≥ 对于任意实数a，b都成立．(　　) (2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2.(　　) (3)当x>1时，y＝x＋≥2，所以y的最小值是2.(　　) (4)式子x＋的最小值为2.(　　) (5)若x∈R，则x2＋2＋的最小值为2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________. (2)＋≥2成立的条件是________. (3)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________. 答案　(1)m＝1　(2)a与b同号　(3)2 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 对均值不等式的理解 例1　给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　从均值不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确； ②因为a∈R，a≠0不符合均值不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，－，－均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确． [答案]　D 均值不等式≥(a≥0，b≥0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义 ①当a＝b时，≥ 的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥ 的等号成立， 即＝⇒a＝b. [跟踪训练1]　下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2 B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)≥4 C．当a＞4时，a＋的最小值是6 D．当a＞0，b＞0时，≥ 答案　B 解析　A中，可能＜0，所以不正确；B中，因为a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D中，由均值不等式知，≤ (a＞0，b＞0)，所以不正确． 题型二 利用均值不等式比较大小 例2　已知a＞1，则，，三个数的大小关系是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜≤ [解析]　当a，b均是正数时，≤≤，令b＝1，得≤≤.又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C. [答案]　C 利用均值不等式比较大小 在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． [跟踪训练2]　已知：a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝