专题2.1 等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（浙教版）

专题2.1等腰（直角）三角形中的分类讨论问题 专项讲练 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希望大家学习完第3章后再完成该专题训练。 例1．（2022·上虞市实验中学初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 变式1．（2021·保定市第三中学分校初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案． 【解析】解：如图，，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0）， 当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键． 例2．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标 【详解】解：如图， 当为直角顶点时，则,作轴， 又,同理可得 根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 变式2．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，． (1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）． 【分析】（1）由非负数的性质知OA=6，OB=8，据此可得点A和点B的坐标；（2）根据求解可得；（3）先设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB两种情况分别求解可得． (1) 则A点的坐标为A（0，6），B点的坐标为（8，0） (2)， (3)存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形 设点P（a，0），根据A（0，6），B（8，0）得 ①若PA=AB，则，即，解得a=8(舍)或a=−8，此时点P(−8，0)； ②若AB=PB，即，即解得a=18或a=−2，此时点P(18，0)或(−2，0)； 综上，存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，其坐标为(−8