笔记&必记 第二章 等式与不等式-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

____第二章等式与不等式 第二章，等式与不等式 2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 1.等式的性质：若a=b，则对任意e，都有a+c=b+c； 若a=b，则对任意不为0的c，都有ac=bc。 ―2.恒等式：含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也 称等式两边恒等。常见的恒等式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)； (a±b)^2=a^2士2ab+b^2﹔ a^3―b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； a^3＋b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)． 3.方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 【例】(问题提出)：分解因式：(1)2x^2+2xy-3x-3y；(2)a^2-b^2+4a-4b。 （问题探究)：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究： 探究1：分解因式：(1)2x^2+2xy-3.x-3y。 【分析】该多项式不能直接使用提取公因式法、公式法进行因式分解，于是仔细观察多项式的 特点。甲发现该多项式前两项有公因式2x，后两项有公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相 同因式(。x+y)，可以继续用提公因式法分解． 【解】2x^2+2xy-3x-3y=(2x^2+2xy)-(3x+3y)=2x·(x+y)-3(x+y)=(x+y)(2x-3)。 另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y，第一项和第三项含有公因式x，把yx 提出来，剩下的是相同因式(2.x-3)，可以继续用提公因式法分解． 【解】2x^2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x·(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)。 探究2：分解因式：(2)a^2-b^2+4a-4b。 【分析】该多项式亦不能直接使用提取公因式法、公式法进行因式分解，于是若将此题按探究 1的方法分组，将含有a的项分在一组即a^2十4a=a(a＋4)，含有b的项一组即—b^2―4b=—b(b+ 4)，但发现a(a＋4)与-b(b+4)再没有公因式可提，无法再分解下去。于是再仔细观察发现，若先 将a^2-b^2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式4，则可继续再提出因式，从 而达到分解因式的目的． 【解】a^2-b^2+4a-4b=(a^2-b^2)+(4a-4b)=(a+b)·(a-b)+4(a-b)=(a-b)(4+a+b)。 [方法总结……-___ 对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可考虑把被分解的多项 式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从 总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，而是通过对多项式进行适当的分组，把多项 式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等。从而达 到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的． 2.1.2-元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.-元二次方程的解集 一元二次方程a.x^2＋bx+c=0(a≠0)，记Δ=b^2-4ac。 数学·9ⅵ ☑笔记&必记 (1)当△>0时，方程的解集为 -b+√b-4ac-b-√/b-4ac 2a Za (2)当△=0时，方程的解集为一2a}: (3)当△<0时，方程的解集为⑦. 一般地，A=b-4ac称为一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的判别式. 2.一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的解集不是空集时，方程的解可以记为：x1= -b叶B=4ac,=-b-yF-4ac,则有西十x,= 2a 2a a12=C b a 【例】已知关于x的一元二次方程x+(m十1Dx+子m-2=0. (1)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若此方程的两个实数根为1，且满足十后十x=18-子m2,求m的值。 【解1)由题意知△=(m+1):-4X1×(㎡-2)≥0， 解得m≥-2，故m的最小整数值为-4。 (2)由根与系数的关系，得x十=一(m十1)，x1x=m-2. 于是++运=（十)户-西=[-(m+1D小P-(经m-2）=m+2m+3. m+2m+3=18-m, .m2+2m-15=0,∴.m=3或m=-5. 又由1)知≥-号 .m=3为所求.故实数m的值为3. 2.1.3方程组的解集 方程组的解集： 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的 解集。 求方程组解集的依据还是等式的性质，常用的方法是消元法· 【例1】解方程组 a2+2y2-1=0,(1) x-y+1=0. (2) 【解】