四川省成都市树德中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题

树德中学高2020级高三开学考试试题（理科数学） 一､选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍. A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 5. 已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ） A. B. C. D. 0 12. 若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 14. 已知抛物线的焦点为F，点M为C上一点，点N为x轴上一点，若是边长为2的正三角形，则p的值为______． 15. 已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________. 16. 在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题： ①与共面； ②三棱锥的体积跟的取值无关； ③当时，； ④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为. 其中正确的有___________（填写序号）. 三､解答题 17. （12分）在非直角中，角，，对应的边分别，，，满足. （1）判断的形状； （2）若边上的中线长为2，求周长的最大值. 18. （12分）为弘扬中国传统文化，某电视台举行传统文化知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.6 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 （1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由； （2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望． 19. （12分） 如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使. （1）证明：平面平面； （2）试探究在线段DM上是否存在点，使二面角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. （12分）已知点A，B分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上异于A，B的一个动点，的周长为12． （1）求椭圆E的方程； （2）已知点，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上． 21. （12分）已知函数，. （1）比较与的大小； （2）设方程有两个实根，，求证：