第09讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】 题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题 【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （       ） A． B． C． D． 2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 4.（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______. 题型二：方程根的个数问题 【例1】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期中）设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知函数，下列选项正确的是（       ） A．函数的单调减区间为、 B．函数的值域为 C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【例3】（2022·江西赣州·高二期中（文））已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例4】（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（2022·广西百色·高二期末（理））设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2.（2022·宁夏中卫·一模（文））设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题 【典例例题】 题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题 【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答. 【详解】 由不等式（），令，， ，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有， 函数，表示恒过定点，斜率为的直线， 在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图， 因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【点睛】 关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键. 【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解. 【详解】 当时，即为,即,不成立； 当时不等式等价于, 由于，故不成立； 当时，不等式等价于， 若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意； 当时，令，则， 在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上, 又∵在趋近于时，趋近于0， ∴在上的图象如图所示： ∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴， 故选：C 【点睛】 分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分