第08讲 抽象函数7种导函数构造-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第8讲 抽象函数7种导函数构造 【题型目录】 题型一：具体函数抽象化解不等式 题型二：构造幂函数型解不等式 题型三：构造指数函数型解不等式 题型四：构造对数函数型解不等式 题型五：构造三角函数型解不等式 题型六：构造型函数解不等式 题型七：复杂型：二次构造 【典例例题】 题型一：具体函数抽象化解不等式 【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围. 【详解】 解：函数的定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数， 当时，，， 则函数在上为增函数， 由得， 由偶函数的性质得， 由于函数在上为增函数，则，即， 整理得，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型专练】 1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可. 【详解】 解：因为，则，所以 又时，，所以恒成立 所以在上单调递增； 又，， 所以，则. 故选：A. 2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设，若，则x的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围. 【详解】 由且，易知：为奇函数， 所以， 又，故在上递增， 所以，可得. 故答案为： 题型二：构造幂函数型解不等式 【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ） A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023） 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】 设，可得， 因为当时，，可得， 所以在为单调递减函数， 又因为函数为奇函数，且，可得， 则满足，所以函数也为奇函数， 所以在为单调递减函数，且， 当时，由，即，即，可得； 当时，由，即，即，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】 由， （1）当时，可得， 即， 即， 构造函数， 所以函数单调递增， 则，此时，即满足； （2）当时，可得， 由函数递增，则，此时或，即满足； （3）当时，，即满足. 综上，. 故选：A. 【例4】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（       ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】 先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可. 【详解】 构造函数， 则 由题可知，所以在时为增函数； 由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数； 又，即 即 又为开口向上的偶函数 所以，解得或 故选：D 【点睛】 此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解. 【详解】 由题意，设函数， 则， 因为是定义在区间上的可导函数，且满足， 所以，所以函数在上为增函数， 又由，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力. 【题型专练】 1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（