专题3-6 导数综合大题：零点与求参及不等式证明-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-6 导数综合大题：零点与求参及不等式证明 目录 【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型） 1 【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型） 4 【题型三】零点求参3：综合型（3个零点型） 7 【题型四】讨论零点个数1：基础型（无参讨论） 10 【题型五】讨论零点个数2：有参讨论型 12 【题型六】讨论零点个数3：给参数范围证明型 15 【题型七】零点不等式1：基础型 18 【题型八】零点不等式2：比值代换型 20 【题型九】零点不等式3：零点与极值点型（难点） 23 【题型十】零点不等式4：加新参数 26 【题型十一】三角函数中的零点 28 二、真题再现 31 三、模拟检测 37 综述：本专题是结合2022年高考全国甲乙卷导数大题题型而总结的训练专题 【题型一】零点求参1：基础型（一个零点型） 【典例分析】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，且. (1)当时，求的单调区间； (2)若只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2) 【分析】（1）用导数法直接求解即可； （2），令，再分与两种情况讨论，即可求解 (1)当时，，， 易知在上单调递增，且，所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以的单调递增区间是，单调递减区间是； (2)，令， （1）当时，则，，当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减；故， 则，在单调递增，又时，；时，； 所以此时在只有一个零点； （2）当时，则，恒成立，在单调递增， 且，，又，则， 故存在，使得， 当时，，当时，，因为当时，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，取得极小值，由得，则， 当时，等号成立， 由，可得，解得， 综合第一问可知，当时，只有一个零点； 综上，若只有一个零点，则的取值范围是 【提分秘籍】 基本规律 零点求参基础型： 1. 分类讨论思想与转化化归思想 2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处） 3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。 【变式演练】 1.（2022·山西太原·三模（理））已知函数. (1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2)（0，） 【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a的方程组，解之即可； (2)由二次函数和指数函数的性质知当时不符合题意，故，利用分离参数法可得 ，根据导数研究函数的单调性，结合图形即可得出结果. (1)，设切点为，则∴ 时，显然不成立，∴消去a得 ∴； (2)令，即有且只有一个解，当时，显然不成立， ∴，令，∴与有且只有一个交点， ∵，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又当时，→0，当 当时，，当时， 如图所示， 综上，a的取值范围是. 2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恰有一个零点，求a的值． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理． (1) ，令，得． 因为，则，即原方程有两根设为 ，所以（舍去），． 则当时，，当时， 在上是减函数，在上是增函数． (2)由（1）可知． ①若，则，即，可得， 设，在上单调递减 所以至多有一解且，则，代入解得． ②若，则，即，可得， 结合①可得，因为，， 所以在存在一个零点． 当时，， 所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意 综上所述：． 【题型二】零点求参2：拔高型（两个零点型） 【典例分析】 （2022·贵州·六盘水市第五中学高三期末（文））设函数，其中是自然对数的底数，. (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，整理得，又，故只需， 分离参数，即可求解. (2)先讨论，不为根，再讨论，令，分离参数得， 题意转化为和的图像有两个交点，即可求解. (1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，当时，，当时，，所以，故，即. (2)当时, ，当时，， 当时，令，分离参数得， 由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为： 所以，即,即. 【提分秘籍】 基本规律 两个零点型，比较复杂，多数为所求区间内为“类二次函数型”，所以需要求极值点，还需要“找点”。 【变式演练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2).