专题3-5 压轴小题导数技巧：比大小-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-5 导数技巧：比大小 目录 【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型 1 【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型 3 【题型三】指数函数基础构造 5 【题型四】“取对数”法 6 【题型五】指数切线构造： 8 【题型六】对数切线构造 10 【题型七】反比例构造:型 13 【题型八】“零点”构造法 15 【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造 16 【题型十】“同构”构造：差、商、积同构 18 【题型十一】泰勒逼近 20 【题型十二】帕德逼近 22 【题型十三】综合 24 二、真题再现 26 三、模拟检测 29 【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）已知，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小. 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 故选：A. 【变式演练】 1.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系. 【详解】构造，， ， 在时为减函数，且， 所以在恒成立，故在上单调递减， 所以，即，所以，即. 故选：D 2.（2022·四川宜宾·二模（文））已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，求导确定函数单调性，即可判断的大小. 【详解】令，则， 显然当时，是减函数且，故是减函数， ，即， 可得，即. 故选：A. 3.（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性. 【详解】令 ，， 则， 所以在上单调递增 ， 所以，即， 所以， 故选：D 【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型 【典例分析】 (2022·全国·模拟预测）已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】构造，，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据的单调性及④得到③的正误.. 【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以，即，因为单调递增，所以，①正确； ，即， 因为单调递增，所以，②错误； 因为，所以，④正确；因为单调递增， 所以，所以，③正确. 故选：C 【变式演练】 1.（2022·全国·高三专题练习），则a，b，c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又，∴，. 若有两个解，则，，即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：.故选：A 2.（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系. 【详解】令，可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减，所以， 即，可得，，所以，， 所以，，即，.所以.故选：B. 3.（2022·全国·高三专题练习（理））设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于，所以构造函数，利用导数判断其为减函数，从而可比较出，进而可比较出的大小，同理可比较出的大小，即可得答案 【详解】∵，构造函数，， 令，则， ∴在上单减，∴，故， ∴在上单减，∴，∴∴.∴， 同理可得，，故，故选：A 【题型三】指数函数基础构造 【典例分析】 设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题 【答案】B 【分析】 通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并判断的范围，通过变形得，得的大小关系，再直接解方程求的范围，最后三个数比较大小. 【详解】 设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．故选：B 【变式演练】 1.已知.满足.则，，的大小关系为（ ）. A． B． C． D． 2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题 【答案】A 【分析】 根据指数函数值域可确定，；构造函数，利用导数可知在上单调递减，利用可知，由此可得结果. 【详解】 ，，，，，， ，，； ，，， 令，则， 当时，，，，在上单调递