专题3-4 压轴小题导数技巧：多元变量（多参）-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-4 导数技巧：多元变量（多参） 目录 【题型一】多元（多参）：放缩型 1 【题型二】多元（多参）：方程与函数 4 【题型三】多元（多参：极值点偏移型 6 【题型四】多元（多参）：零点多项式 10 【题型五】多元（多参）：凸凹翻转型 12 【题型六】多元（多参）：讨论最值型 15 【题型七】多元（多参）：换元型（比值换元） 17 【题型八】多元（多参）：切线放缩 20 【题型九】多元（多参）：绝对值型max{min}或min{max} 22 二、真题再现 26 三、模拟检测 29 【题型一】多元（多参）：放缩型 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可. 【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立， 令，则 在上恒成立，令，所以， 若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立， 故，当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 所以，所以，所以， 令，则，所以， 当时，当时，，所以当时，取得最小值， 所以的最小值是故选：D 【提分秘籍】 基本规律 本题型最早源于新课标2012年导数压轴大题，处理有两个关键步骤 1.含参式子求最值 2.二次构造时，不完全是“恒成立”型，而是“存在型” 【变式演练】 1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若时，恒有，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可. 【详解】因为函数，则， 由题可知，对，恒有成立， 令，则， 当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，， 当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减； 所以， 故， 令，则，且， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，故， 综上所述，的最大值为.故选：C 2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数．若不等式对恒成立，则的最小值是（             ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过将不等式变形，即需要证明在上恒成立，再通过对求导，找出求出的最大值，再证明大于等于零在上恒成立即可 【详解】解法1：令，则， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，令，则，时，，单调递增， ，，单调递减， ∴，即，，，，由的导数为， 当时，，且，；当时，，可得时，取得最小值，上的最小值为，故选B． 3.（2019•湖北模拟）已知不等式x−3lnx＋1≥mlnx＋n（m，n∈R，且m≠−3）对任意实数x恒成立，则的最大值为 A、−2ln2 B、−ln2 C、1−ln2 D、2−ln2 解答：解：令f（x）＝x−3lnx＋1−mlnx−n，则f′（x）＝1−(m＋3)/x（x＞0）， 若m＋3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→−∞，不合题意； ∴m＋3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m＋3， 当x∈（0，m＋3）时，f′（x）＜0，当x∈（m＋3，＋∞）时，f′（x）＞0， ∴当x＝m＋3时，f（x）有最小值，则f（m＋3）＝m＋3−3ln（m＋3）＋1−mln（m＋3）−n≥0， 即n−3≤m＋4−（m＋3）ln（m＋3），令g（x）＝ 当x∈（−3，−1）时，g′（x）＞0，当x∈（−1，＋∞）时，g′（x）＜0， ∴当x＝−1时，g（x）有最大值为−ln2．即的最大值为−ln2故选：B． 【题型二】多元（多参）：方程与函数 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）已知a，b分别满足，，则ab＝______． 【答案】 【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案． 【详解】 ，且，令，，该函数在单调递增，可得，即，则． 故答案为：. 【提分秘籍】 基本规律 利用方程或者不等式，进行“二次构造”求导求最值 【变式演练】 1.若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】 分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解, 【详解】令；当时，，不合题意； 当时，，令，得或， 所以在区间和上单调递减.因为，且在区间上单调递增， 所以在处取极小值，即最小值为.若，，则，即. 当时，，当时，则.设，则. 当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为.故答案为： 2.（2022·湖北·孝