专题3-3 压轴小题导数技巧：构造函数-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题3-3压轴小题导数技巧：构造函数 目录 【题型一】导数公式构造1：“幂函数”型 1 【题型二】导数公式构造2：指数函数型 3 【题型三】导数公式构造3：三角函数型 5 【题型四】导数公式构造4：对数型 8 【题型五】复合型构造1：常数型 10 【题型六】复合型构造2：指数型 12 【题型七】复合构造3：f（x）+g（x）型 15 【题型八】换元构造 17 【题型九】双元构造 19 二、真题再现 21 三模拟测试 23 【题型一】导数公式构造1：“幂函数”型 【典例分析】 （2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】因为函数满足，且在上是连续函数，所以函数是偶函数， 令，则是奇函数，且在上是连续函数，则， 因为当时，成立，即，所以在上单调递减， 又因为在上是连续函数，且是奇函数，所以在上单调递减， 则，，， 因为，，，所以，所以，故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 1. 2. 3. 4. 【变式演练】 1.设是定义在上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为 ． 【思路引导】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．注意和的转化． 【详细解析】构造，则，当时，，可以推出，，在上单调递减．为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，在上单调递增．根据可得，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知的解集为． 2.函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】令，，， ∵，，∴，， ∴函数在上单调递增，∴，即，， 令，，，∵，，， ∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D. 3.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】C详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即． 故选C． 【题型二】导数公式构造2：指数函数型 【典例分析】 （2021·吉林·高三阶段练习（文））已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案． 【详解】根据题意，设，（），，（） ∵，∴， 即，∴ 对于，其导数， ∵，，则有在区间上单调递增； 所以，即，变形可得； 对于，其导数， ∵时，，则在区间上单调递减； 则有，即，变形可得， 综合可得：，即的范围为. 故选：B. 【提分秘籍】 基本规律 1.， 2. 3.， 4. 【变式演练】 1.（2021·四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习（理））已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意，构造函数，判断出函数g（x）的单调性，再利用求得函数g（x）的对称轴，然后判断，得出答案即可. 【详解】构造函数，因为当时，，所以 可得在时， 是单调递增的；因为，化简得 即 可得图像关于x=1对称，则 ，    因为 化简可得，故选C 2.已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数,结合导函数,判定的单调性,得对称轴,对选项判断即可. 【详解】 构造函数,计算导函数得到=，由>0,得当,>0当时,<0.所以在单调递增,在单调递减,而,所以关于对称,故,得到,故选:D. 3.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，所以的图象关于直线对称，所以，设，则 ，因为，所以在上为减函数，又 ，因为，所以 ，选D. 【题型三】导数公式构造3：三角函数型 【典例分析】 已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，所以，则由得，即．令，则，所以在上递减，所以，即，即，故选C． 【提分秘籍】 基本规律 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 4.， 5. 【变式演练】 1.（2022·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分