专题研究二 零点问题-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

专题研究二 零点问题 编写：廖云波 题型一 零点个数问题 【例1】已知函数，讨论函数的零点的个数. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 设，利用导数判断出单调性并画出图象，结合图象可得答案. 【详解】 由得， 设，    则， 令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减， 即当时，g(x)取得极大值即， 由，单调递增，可得与x轴只有一个交点， 由，单调递减，可得与x轴没有交点， 画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点；当m>时，没有零点. 综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点； 当0<m<时，有2个零点； 当m>时，没有零点. 【练习1】已知函数． (1)求证：的极小值为0； (2)讨论方程实数解的个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）利用导数求解函数的单调性，即可判断的极小值； （2）由题意可知方程等价于或时，构造函数，利用导数求解函数的单调性及最值，分类讨论的取值范围即可. (1) 解：由题得， 所以当时，，在单调递增； 所以当时，，在单调递减． 所以，的极小值为． (2) 解：方程等价于或时． 令，则，由， 随x的变化可得，情况变化如下： 2 - + 0 - 极大值 故极大值， 先证明一个结论：当，不等式恒成立. 证明：设，则， 故在上为增函数，故， 故不等式恒成立. 对任意的，则当时，有①. 又当时，方程无实数解； 当时，，， 故在上有一个零点， 而，，， 结合①可得在上有两个零点，故方程有3个实数解； 当时，，， 故在上有一个零点， 而，故在上有一个零点即方程有2个实数解； 当时，同理有在上有一个零点， 而，故在上无零点即方程无实数解； 故方程有1个实数解； 综上：当时，方程有1个实数解； 当时，方程有4个实数解： 当时，方程有3个实数解； 当时，方程有2个实数解； 题型二 零点问题求参数范围 【例2】已知函数； (1)若直线与函数的图像相切，求实数的值： (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上，结合对数方程即可求解； （2）根据函数的零点的定义，利用导数法求函数的最值，结合函数的单调性进行讨论即可求解. (1) 的定义域为且 设的图像与直线相切于，则, 所以，所以； (2) 的定义域为且， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，与已知矛盾，因此；由及，得，由及，得 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以即，所以 当时，又，，所以在有一个零点； 令，则，由于在上恒成立，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，，所以在上有一个零点； 综上知当时函数有两个零点． 题型三 证明零点个数问题 【例3-1】已知函数，. (1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)证明:方程有且只有一个实数根. 【答案】(1) (2) 见解析 【解析】 【分析】 (1)依题意,得恒成立,由此可求实数的取值范围； (2)令,即,即 ，也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点. 由，得 ，设 ,讨论的性质，可证方程有且只有一个实数根. 【详解】 (1)由题得,函数的定义域为 由，得， 依题意,得恒成立, 所以在区间内恒成立,所以. 而 ,当且仅当, 即时，等号成立，故， 因此实数的取值范围为. (2)令,即, 即 ， 也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点. 由，得 记 , 所以 令 ， 当时, ,在区间内单调递减; 当时, ,在区间内单调递增， 所以当时, 有有极小值 ，故， 因此在区间内单调递增， 又因为当,且时, ,当时, , 因此函数的图象与直线有且只有一个交点, 故方程有且只有一个实数根. 【练习3-1】已知函数，， (1)讨论函数的单调性； (2)证明：函数在定义域上只有一个零点. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【解析】 【分析】 （1）利用导数研究函数单调性，对参数进行分类讨论. （2）利用第(1)问的结论，借助函数图像研究零点问题. (1) ，又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，有，或， 有，，所以在，上单调递减， 在上单调递增； 当时，有，或， 有，，所以在，上单调递减， 在上单调递增； 综上，当时， 在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. (2) 由（1）有：当时， 在上单调递减， 又，，所以在定义域内只有一个零点； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 所以在定义域内只有一个零点； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 所