第3课时 导数的应用（二）极值与最值-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 3 课时 导数的应用（二）极值与最值 编写：廖云波 【回归教材】 1.函数的极值 一般地，对于函数y=f (x)， （1） 若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧， 右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值. （2） 若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧， 右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2.函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值， 对于最值，我们有如下结论： 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3.函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内， 极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【典例讲练】 题型一 求函数的极值 【例1-1】已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1 C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】 求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案. 【详解】 由题意得， 令，解得或， 当x变化时，、变化如下 x -1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误， 当时，取得极小值，故A错误， 故选：B 【例1-2】已知函数，求函数的极大值与极小值． 【答案】， 【解析】 【分析】 先求的值，发现需要讨论的正负，分别判定在的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值． 【详解】 解：， 令，则或， 当，随着x的变化，与的变化情况如下： x 0 0 0 极大值 极小值 所以，； 当时，随的变化，与的变化如下表： x 0 0 0 极小值 极大值 所以，， 综上所述，，. 归纳总结： 【练习1-1】函数的极值点是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号. 【详解】 ，定义域为，令，解得， 当时，，单调递减；时，，单调递增， 故是极小值点. 故答案为： 【练习1-2】已知函数.求的单调区间和极值. 【答案】当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值； 【解析】 【分析】 求导，分和求导确定单调性后，求出极值即可； 易得，，当时，在上恒成立，则在上单减，无极值； 当时，令，解得，令，解得，则在单减，在单增，有极小值，无极大值； 综上，当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值. 题型二 利用极值求参数 【例2-1】已知函数．若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； 【答案】 【解析】 【分析】 ，则 即解得，经验证满足题意， 【例2-2】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可. 【详解】 由，又有极大值、极小值， 所以有两个变号零点，则， 整理得，可得或. 故选：B 【例2-3】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极大值点的定义进行判定，即可求解. 【详解】 由题意得：函数的定义域为， 且，， 当时，即时， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 此时函数在取得极大值，满足题意； 当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意； 当时，即时， 令，可得，令，可得， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 此时函数在处取得极小值，不满足题意， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为： 归纳总结： 【练习2-1】已知函数的极小值为，则a的值为_____