第2课时 导数的应用（一）单调性-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 2 课时 导数的应用（一）--单调性 编写：廖云波 【回归教材】 1.导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a，b)内： （1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 2.利用导数求函数的单调区间 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f ′(x). (3)解不等式，得函数的单调递增区间；解不等式，得函数的单调递减区间. 或则作出导函数的函数图像，x轴上方对应函数的递增区间，x轴下方对应函数递减区间 3.导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快， 这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的 快慢程度. 如图，函数y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)内的图象“平缓”. 【典例讲练】 题型一 求函数的单调区间 【例1-1】利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）递增；（2）递减；（3）和上单调递增. 【解析】 【分析】 先求导，通过导数的符号判断单调性. 【详解】 （1）因为， 所以 所以在R上单调递增. （2）因为， 所以 所以，函数在 上单调递减. （3）因为， ，所以 所以，函数在 和上单调递增. 【例1-2】函数的单调递增区间为（       ） A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1) 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数与函数单调性的关系即得. 【详解】 ∵函数，， ∴， 由，，解得， 即函数的单调递增区间为. 故选：D. 归纳总结： 【练习1-1】求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 【答案】（1）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）单调递增区间为（），单调递减区间（）. 【解析】 【分析】 （1）求出，解不等式和即得解； （2），解不等式和即得解. 【详解】 （1）由题得函数的定义域为. ， 令，即，解得； 令，即，解得或， 故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． （2）由题得函数的定义域为. 令，得，即（）， 令，得，即（）， 故的单调递增区间为（），单调递减区间（）． 题型二 讨论函数的单调性 【例2-1】已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 利用导数法求解. 【详解】 解：因为， 所以． ①当时，，在上单调递增； ②当时，时，； 时，； 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上：当时， 在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减． 【例2-2】讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 由题设可得，讨论、、，结合判断的区间单调性. 【详解】 由题设，， 当时，若即时，递减；若即时，递增； 当时，，定义域上递增； 当时，若即时，递减；若即时，递增； 综上，：在上递减，在上递增； ：在R上递增； ：在上递减，在上递增； 归纳总结： 【练习2-1】已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析﹒ 【解析】 【分析】 求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性． ， 当，即时，，在R上单调递增； 当，即时， 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【练习2-2】已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 对求导，讨论、、分别判断的符号，进而确定的单调区间. 【详解】 由题设，，      当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，令 得或，    当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为. 当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为； 题型三 函数单调性的应用（比较大小或解不等式） 【例3-1】若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案 【详解】 解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以． 故选：A. 【例3-2】已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 是偶函数，可将自变量都转到上，通过比较自变量的大小，以及判断的单调性，即可比较大小. 【详解】 ， 是偶函数， 又，记，则,所以单调递减，当时，，所以，故当时，单调递减，