专题研究一 恒成立或存在性问题-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

专题研究一 恒成立或存在性问题 编写：廖云波 题型一 分离参数法求参数范围 【例1-1】(1)已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．若a＝1，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值． (2)已知函数.若存在，使得，求实数的取值范围 【答案】（1）1.(2) 【解析】 【分析】 （1）解：a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 ，即1，令g（x）＝1，则，由≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1． （2）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. (2)解：存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 【例1-2】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在；最小值为3 【解析】 【分析】 （1）求导，然后分与讨论即可求解 （2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解 (1) ∵， 当，， ∴在单调递增 当时，， 令，得，得 ∴在单调递增，在单调递减 综上：时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减； (2) ∵， ∴， ∴， ∴ 令， ∴ 令， ∴在单调递减， ∵ ∵ ∴，使得，即， 当，，，单调递增， 当，，，单调递减， ∴， ∵，， ∴， ∴m的最小值为3 题型二 函数单调性求参数范围 【例2-1】已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)见详解； (2) 【解析】 【分析】 （1）求导，分类解不等式可得； （2）根据函数单调性分类求得，然后解可得. (1) 函数的定义域为 当时，解不等式得， 当时，解不等式得， 当时，解不等式得， 当时，不等式无实数解. 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，无单调递增区间. (2) 由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立； 当时，在上单调递减，所以，显然恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减，所以 因为当时恒成立，所以，解得. 综上，实数m的取值范围为 题型三 端点值问题 【例3-1】已知函数，． (1)若，求函数的单调区间： (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2) 【解析】 【分析】 （1）由可求得的值，再利用导数与函数单调性的关系可求得函数的单调增区间和减区间； （2）令，，只需，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围. (1) 解：因为，该函数的定义域为，， 所以，，解得. 此时， 令，其中，， 所以，函数在上单调递增，且， 当时，，则；当时，，则. 所以，函数的减区间为，增区间为. (2) 解：令，，只需， 可得，， 记，，则，， ①当时，，则函数在上为增函数， 所以，，所以，函数在上为减函数， 所以，，此时当时，恒成立； ②当时，令，则， 故函数在上单调递减，所以，， 同①可知，当时，恒成立； ③当时，由②可知，函数在上为减函数，所以，， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，，则， 所以，， 所以，， 所以，存在使得， 当时，，此时函数在上单调递增， 此时，则函数在上单调递增， 此时，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【请完成课时作业（十九）】 【课时作业（十九）】 1．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是． (1)求a，b的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【解析】 【分析】 （1）利用导数表示切线的斜率，列方程组即可求得；（2）利用分离参数法得到恒成立.令，利用导数判断出在上单调递减，在上单调递增，求出的最小值，即可得到实数m的取值范围. (1) ， ∵曲线在点处的切线方程是， ∴，，∴，， 解得，． (2) 由（1）得，， 由，得， ∵，∴可化为恒成立， 令，则， 当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为，∴， 即实数m的取值范围为． 2．设函数，，是自然对数的底数． (1)若，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【解析】 【分析】 （1）求出，利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义求解即可； （2）求出，，利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值情况，由此分析求解即可． (1)