第6课时 对数与对数函数-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 6 课时 对数与对数函数 编写：廖云波 【回归教材】 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①常用对数：以为底，记为； ②自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且；②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见右图) 【典例讲练】 题型一 对数式的运算 【例1-1】(1)； (2)； (3)2log32－log3＋log38－； 【答案】(1) (2)-1 (3)－1 【解析】 (1)原式. (2) (3)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 【例1-2】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解. 【详解】 （1），， ，， ； （2），， ． 归纳总结： 【练习1-1】计算下列各题： (1)已知，求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得； （2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得； (1) 解：因为，所以、， 所以，， 所以； (2) 解： 【练习1-2】（1）若，求的值； （2）设，用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质求解； （2）利用换底公式以及对数的运算性质求解． 【详解】 （1）∵， ∴． （2），根据换底公式， ∴． 题型二 对数函数的图像 【例2-1】画出下列函数的图象： （1）； （2）． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析； 【解析】 【分析】 （1）将图象向左平移个单位，作出关于轴对称图象，即可求得答案； （2）画出的图象中负数部分沿轴翻折，即可求得． 【详解】 （1） 将图象向左平移1个单位，做出关于轴对称图象 的图象如图所示； （2） 画出的图象中负数部分沿轴翻折， 可得：的图象如图所示 【点睛】 本题考查作对数函数图象，解题关键是掌握对数图象画法，考查了分析能力，属于基础题． 【例2-2】当时，，则a的取值范围是 A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】B 【解析】 【分析】 分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】 当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B. 【点睛】 本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型. 【例2-3】已知函数，若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围 【详解】 的图象如图， 因为， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以，则， 所以， 令，则， 当时，， 所以在上递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 归纳总结： 【练习2-1】分别画出下列函数的图象： 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）作出y＝lgx的图象C1，先右平移1个单位，再利用翻转变换即可得解． （2）作y＝lgx的图像，沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像，再向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像，再将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折即可得到的图像. 【详解】 (1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|,如图1所示(实线部分). (3) 第一步作y＝lgx的图像． 第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像． 第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像 第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿