第5课时 指数与指数函数-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 5 课时 指数与指数函数 编写：廖云波 【回归教材】 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质：①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关， 应分与来研究 【典例讲练】 题型一 指数式的计算 【例1-1】(1)； (2) 【答案】(1) (2)625 【解析】 【分析】 由对数和指数的运算求解即可. (1) (2) 原式 . 【例1-2】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得； (1) 解： ． (2) 解： ． 归纳总结： 【练习1-1】计算：___． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】 应用有理指数幂的运算法则化简求值即可. 【详解】 原式. 故答案为： 【练习1-2】化简（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. (1) (2) 题型二 指数函数的图像与性质 【例2-1】如图所示，函数的图像是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】 ， 时，时，. 故选：B. 【例2-2】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】 函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 【例2-3】函数的大致图像是（       ） A．B．C．D． 【答案】C 解：由函数， 得，所以函数为偶函数，故排除AB， 当时，， 所以函数在上是减函数，故排除D. 故选：C. 【例2-4】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：B 归纳总结： 【练习2-1】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】 【分析】 作直线，根据图象得出答案. 【详解】 设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示 由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，， 故选：D 【练习2-2】已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题意得到，从而得到当时，函数为增函数，再根据题意即可得到答案. 【详解】 因为函数， 当时，函数为增函数， 而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为． 故答案为： 【练习2-3】若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】 直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 题型三 比较指数幂的大小 【例3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接) 【答案】 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性及幂函数的单调性即得． 【详解】 由于函数在R上是减函数，且， ， 由于函数在上是增函数，且， ∴， 故，，的大小关系是. 故答案为：. 【例3-2】按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.