第4课时 二次函数-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 4 课时 二次函数 编写：廖云波 【回归教材】 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2.二次函数的单调性 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增， 当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 上递增，在上递减， 当时，；. 3.二次函数图像与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 4.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则；（4）若，则. 5.一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 【典例讲练】 题型一 二次函数的解析式 【例1-1】若二次函数满足，，求. 【答案】. 【解析】 【分析】 由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可. 【详解】 因为二次函数满足；所以设， 则：； 因为， 所以； ∴；∴；∴，； ∴. 故答案为： . 归纳总结： 【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为____，f(2)＝____. 【答案】     f(x)＝＋2x＋1     7 【解析】 【分析】 设二次函数解析式为f(x)＝a＋bx＋c(a≠0)，由f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1知c＝1，由f(x－2)＝f(－x－2)可得a和b的关系，设a＋bx＋c＝0的两根为，则根据已知条件知，结合韦达定理即可求得a和b. 【详解】 设f(x)＝a＋bx＋c(a≠0). 由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0；① 又∵， ∴－4ac＝8；② 又由已知得c＝1.③ 由①②③解得b＝2，a＝，c＝1， ∴f(x)＝＋2x＋1. ∴f(2)＝＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7. 故答案为：f(x)＝＋2x＋1，7. 题型二 二次函数的图像与单调性 【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 根据二次函数的对称轴可判断②；由对称性知图象过点可判断①；根据时，可判断③；根据开口向下可判断④；进而可得正确答案. 【详解】 因为的对称轴为，所以，即，所以②不正确； 因为图象过点，对称轴为， 所以图象过点，所以，故①正确； 当时，，故③正确； 因为二次函数开口向下，所以，所以，故④正确； 故答案为：①③④. 【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(       ) A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意画出二次函数的图像即可判断a、b、c、d的大小关系﹒ 【详解】 ， 由解析式知，f(x)对称轴为x＝， ∵c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d， ∴可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示： 由图可知c＞a＞b＞d， 故选：D． 归纳总结： 【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（       ） A． B． C． D．当时，或 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案. 【详解】 因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确； 当时，，故B正确； 该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确； 因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误. 故选：ABC. 【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 分类讨论，时根据二次函数的性质求解． 【详解】 时，满足题意； 时，，解得， 综上， 故答案为：． 题型三 二次函数的值域与最值 【例3-1】已知二次函数． (1)当时，求的最值； (2)当时，求的最值； (3)当时