第3课时 函数的奇偶性和周期-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 3 课时 函数的奇偶性和周期 编写：廖云波 【回归教材】 1.函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 2.函数奇偶性性质 ①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性. ②，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 ③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立） 3.函数对称性（异号对称） （1）轴对称：若函数关于直线对称，则： ①； ②； （2）点对称：若函数关于点对称，则： ① ② （3）点对称：若函数关于直线对称，则： 4.函数周期性（同号周期） （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. （3）函数周期性的常用结论与技巧 设函数，. ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 【典例讲练】 题型一 判断函数的奇偶性 【例1-1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)奇函数 (4)奇函数 【解析】 【分析】 分别求函数函数的定义域，再定义判断与的关系即可得出结论. (1) 解：函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数； (2) 解：由函数， 则，解得，奇函数的定义域为关于原点对称， 故，所以函数既是奇函数又是偶函数； (3) 解：当时，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，对于任意的，都有， 所以函数为奇函数； (4) 解：函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数. 【例1-2】判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数． 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性的判定方法，准确运算，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由，即， 所以函数为偶函数. （2）由，解得或，所以函数的定义域为或，其定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数． （3）由题意，函数满足，解得或， 即函数的定义域为，关于原点对称，可得函数， 又由，所以函数为奇函数， 即函数是奇函数． 归纳总结： 【练习1-1】判断下列函数的奇偶性并证明： (1)； (2)． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)为奇函数，证明见解析. 【解析】 【分析】 首先确定定义域关于原点对称，根据奇偶函数定义依次判断两个函数奇偶性即可. (1) ，，定义域为； ，， 为定义在上的奇函数； (2) 在上恒成立，定义域为， ， 为定义在上的奇函数. 题型二 函数奇偶性的应用 【例2-1】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，试求出函数在R上的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】 利用偶函数的性质可求在R上的表达式. 【详解】 当时，，故， 故， 所以. 【例2-2】定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由偶函数的定义和性质，结合二次函数的单调性和对称性，可得所求和. 【详解】 由题意，函数在上为偶函数，所以，解得， 又由的图象关于轴对称，可得， 可得，可得的最大值为，即， 所以. 故答案为：. 【例2-3】（1）设定义在上的奇函数在上是减函数，若，求实数m的取值范围； （2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据奇偶性得到函数的单调性，根据单调性结合函数的定义域得到范围. （2）根据奇偶性得到函数的单调性，根据单调性结合函数的定义域得到范围. 【详解】 （1）定义在上的奇函数在上是减函数，故函数在上单调递减， ，故，解得. （2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，故函数在上是增函数，，则，解得. 归纳总结： 【练习2-1】已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式． 【答案】， 【解析】 【分析】 本题考查函数的