第2课时 函数的单调性和最值-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 2 课时 函数的单调性和最值 编写：廖云波 【回归教材】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2.导数单调性问题 (1)函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． (2)已知函数的单调性问题 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 3.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 4.函数相加或相减后单调性： 设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减；增-减=增+增=增；减-增=减+减=减） 【典例讲练】 题型一 求函数的单调区间 【例1-1】函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】 画出函数的图象求解. 【详解】 函数的图象如图所示： 由图象知：其单调递增区间是， 故答案为： 【例1-2】函数的单调增区间是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】 根据复合函数的单调性法则，指数函数，二次函数的性质即可求出． 【详解】 设，函数的单调减区间是，增区间是，而函数在上递减，根据复合函数的单调性法则可知，函数的单调增区间是． 故答案为：． 【例1-3】若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求导，解不等式可得. 【详解】 f（x）定义域为，又， 令，∵x＞0，∴， 由解得或， 则，即的单调减区间为． 故选：B． 归纳总结： 【练习1-1】函数的单调递增区间是（　   ） A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2） 【答案】D 【解析】 【分析】 这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数， 其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”. 【详解】 先考虑定义域：，解得或， 是开口向上的抛物线，对称轴为x=3， 在上单调递增，在上单调递减， 函数是由 和复合而成的， 是减函数，根据复合函数同增异减的原理， 当 时 是增函数， 故选：D. 【练习1-2】函数的单调减区间是______． 【答案】， 【解析】 【分析】 根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间． 【详解】 去绝对值，得函数 当 时，函数 的单调递减区间为 当 时，函数的单调递减区间为 综上，函数   的单调递减区间为， 故答案为：， 题型二 单调性的判断与证明 【例2-1】已知函数，则函数在定义域上的单调性为 。 【答案】单调递增 【例2-2】判断并证明在的单调性. 【答案】函数在单调递增 【解析】 【分析】 根据函数单调性的定义进行证明即可 【详解】 根据函数单调性的定义： 任取，所以 因为，所以，所以 所以原函数单调递增。 归纳总结： 【练习2-1】已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)判断函数的单调性并证明. 【答案】(1)1 (2)在上为减函数，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可； （2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可； (1) 解：由为定义在上奇函数可知，解得. 经检验，此时对任意的都有 故. (2) 解：由递增，可知在上为减函数， 证明如下： 对于任意实数，，不妨设， 则. ∵单调递增，且， ∴即，，， ∴，∴， 故在上为减函数. 题型三 利用单调性比大小 【例3-1】已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得到函数关于对称，且在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解. 【