第3课时 不等式与不等关系-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 3 课时 不等式与不等关系 编写：廖云波 【回归教材】 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【典例讲练】 题型一 不等式的性质 【例1-1】如果实数满足，那么（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由不等式的基本性质逐一判断即可 【详解】 对于A： 因为，所以，故A错误； 对于B： 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C： 因为，当时，故C错误； 对于D： 因为，即，故D错误； 故选：B 【例1-2】已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先由指数函数单调性得大小，再由函数的单调性判断 【详解】 由可得， 对于A，取，，故A错误， 对于B，取，，故B错误， 对于C，，，故C错误， 对于D，由在上单调递增，故，D正确， 故选：D 【练习1-1】若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【答案】C 【解析】 【分析】 对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断 【详解】 对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误， 故选：C 【练习1-2】若a，b为实数，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确. 【详解】 对于A，当时，满足，不满足，故A不正确； 对于B，当时，满足，不满足，故B不正确； 对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 题型二 比较大小（差、商、中间量、单调性） 【例2-1】已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】 ， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 【例2-2】，则的大小关系为_______． 【答案】≥ 【解析】 【分析】 用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】 因为， 则 由 所以 故答案为： 【例2-3】已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案. 【详解】 是减函数， ，即， 而，即， ， 故选：B 【例2-4】若 ，，，则的大小关系是（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 对作商并化简，构造函数 ，根据函数的单调性判断与1的大小关系，即可得出的大小关系. 【详解】 作商可得，令·，则 ，当时， ，所以在 上单调递增，因为，所以 ，又， 所以，所以. 故选：C 归纳总结： 【练习2-1】已知，，则，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用作差法直接比大小. 【详解】 , 故答案为：. 【练习2-2】已知a>0，b>0，试比较与的大小． 【答案】≥ 【解析】 【分析】 首先作商，，再讨论的大小，让商的结果和1比较大小，即可比较与的大小． 【详解】 ＝＝＝． ①若a＝b>0，则＝1，a－b＝0，∴＝1，∴＝； ②若a>b>0，则>1，a－b>0，由指数函数的性质知>1，∴>． ③若0<a<b，则0<<1，a－b<0，由指数函数的性质知>1，∴>． 综上，≥． 【练习2-3】已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小. 【详解】 ，即， ∵， ∴综上，. 故选：B 【练习2-4】若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 【答案】＜ 【解析】 【分析】 作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解 【详解】 易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 故答案为：＜ 题型三 不等式性质的综合应用 【例3-1】若，，，则t的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案. 【详解】 设，则，解得．因为，，所以，即． 故答案为：. 【