第2课时 常用逻辑用语-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 2 课时 常用逻辑用语 编写：廖云波 【回归教材】 一、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. 2．从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 二、全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三、含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 【典例讲练】 题型一 充分、必要条件的判定 【例1-1】设，则“”是“”成立的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 计算绝对值不等式和一元二次不等式，得到，，从而得到答案. 【详解】 ，解得：， ，解得：， 因为，而， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 【例1-2】设，则“”是“直线与直线平行”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据两直线平行列出方程，求出：或1，验证后均符合要求，从而得到“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 【详解】 当时，与的斜率相等，故平行，充分性成立， 若“直线与直线平行”，则满足， 解得：或1，经验证，：或1时，两直线不重合，故：或1，两直线平行，故必要性不成立. 故选：A 【例1-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，则“”是“△ABC是等腰三角形”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 充分性： 或，即或，故不一定是等腰三角形，故充分性不成立 必要性：当是等腰三角形，不妨令：，则， 推不出：，故必要性不成立 综上所述：为既不充分也不必要条件， 故选：D． 归纳总结： 【练习1-1】已知p：x＞1，q：x2＋x－2＞0，则p是q的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式，令，或，根据是的真子集得到答案 【详解】 q：x2＋x－2＞0x＜－2或x＞1，令，或， 因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件， 故选：A． 【练习1-2】已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（       ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解. 【详解】 当时，，所以为纯虚数； 若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 【练习1-3】“”是“直线与直线相互垂直”的______条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 若，直线的斜率，直线的斜率，则两条直线垂直，即充分性成立， 当，两条直线方程为，和，则两条直线垂直； 当，直线的斜率，直线的斜率，满足两直线垂直，故必要性不成立， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 题型二 充分、必要条件的应用 【例2-1】函数为偶函数的一个充分条件（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数