第1课时 集合-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第1课时 集合 编写：廖云波 【回归教材】 1.元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2.集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4.集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【典例讲练】 题型一 集合的基本概念 【例1-1】设集合，若，则的值为（       ）． A．，2 B． C．，，2 D．，2 【答案】D 【解析】 【分析】 由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉. 【详解】 由集合中元素的确定性知或． 当时，或；当时，． 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求． 综上，或． 故选：D． 【例1-2】（多选题）设集合，则下列是集合中的元素的有（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 分别对，取整数，，可判断A；由，可判断B；令，通过验证不成立可判断C；由，可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：因为，，，，所以，故选项A正确； 对于B：因为，，，，所以，故选项B正确； 对于C：若，则存在，使得， 则，易知和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，矛盾； 若和都是偶数，则能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故选项C不正确； 对于D：，，，所以，故选项D正确； 故选：ABD. 【例1-3】集合，用列举法可以表示为_________． 【答案】、 【解析】 【分析】 根据集合元素属性特征进行求解即可. 【详解】 因为，所以，可得，因为，所以，集合． 故答案为： 归纳总结： 【练习1-1】已知集合 ，且 ，则实数m的值为（       ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可； 【详解】 解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件； 故选：A 【练习1-2】已知集合，且，则实数的所有取值构成的集合是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合与元素见的关系直接列不等式，进而得解. 【详解】 由，得， 解得， 故答案为：. 【练习1-3】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】 分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解. 【详解】 根据题意分2种情况讨论： 当全部为负数时，为正数，则； 当全部为正数时，为正数，则； 当一正一负时，为负数，则； 综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2 故答案为：2 题型二 集合的基本关系 【例2-1】若集合，，则集合之间的关系为（       ） A．AB B．BA C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据子集的定义证得和，即可得出结论. 【详解】 设任意，则，当时， 所以；当时， ，所以．所以 又设任意，则 因为，， 且表示所有的偶数，表示所有的奇数． 所以