第5课时 基本不等式-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 5 课时 基本不等式 编写：廖云波 【回归教材】 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.几个重要的不等式 （1）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 3.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 4.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 【典例讲练】 题型一 利用基本不等式求最值 【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值 （1）已知，则函数的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】 因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. （2）已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最小值，即. 故答案为：3. （3）已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【例1-2】最值定理（1）已知，则取得最大值时的值为________． 【答案】          【解析】 【分析】 （1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】 解：（1）， 当且仅当，即时，取等号． 故答案为：. （2）若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 【答案】C 【解析】 【分析】 利用基本不等式可得答案． 【详解】 由题意可得， 当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数满足，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】 用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】 ， 当且仅当时，即时，的最小值为. 故答案为：. （2）已知，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得. 【详解】 因为 所以 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【例1-4】分离常数法 当时，函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【例1-5】换元法 已知正数x，y满足，则的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】 令，，则， 即， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：A. 【例1-6】消元法 已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据变形得，进而转化为， 用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即取等号. 故选：B. 【例1-7】一元二次不等式法 已知，，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由，可推出，而，代入所得结论即可． 【详解】 解：， ，即，当且仅当，即或时，等号成立， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【例1-8】拆项法是不同时为0的实数，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】 因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且取等，即取等号， 即则的最大值为， 故选：A． 归纳总结： 【练习1-1】（1）已知，求函数的值域； （2）已知，，且，求：的最小值． 【答案】（1）；（2）18． 【解析】 【分析】 （1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解； （2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】 （1）设，因为，可得，且， 故， 因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立． 所以函数的值域为． （2）由，可得，即， 则． 当且仅当，即且时，等号成立， 所以的最小值为． 【练习1-2】已