第4课时 一元二次不等式-挑战2023年高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）

第 4 课时 一元二次不等式及其解法 编写：廖云波 【回归教材】 1、一元二次不等式 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 4、一元二次不等式恒成立问题 恒成立的充要条件是：且或且． 【典例讲练】 题型一 一元二次不等式及其解法 【例1-1】求下列不等式的解集． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先将二次项系数化正，再因式分解求解即可； （2）先去括号，再因式分解求解即可 (1) 即，故，解得，故的解集为 (2) 即，即，即，解得或，故解集为 【例1-2】解下列关于x的不等式 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）首先因式分解，即可求出不等式的解集； （2）对根的判定式分两种情况，当时求出所对应的方程的根，即可求出不等式的解集； （3）首先因式分解，再对分三种情况讨论，即可求出所对应的不等式的解集； (1) 解：因为，即， 所以，解得 ∴原不等式的解集为. (2) 解：因为， 若，即，解得或， 当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为； 当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为； 当，即，解得时，所以原不等式的解集为； 当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为； (3) 解：因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 归纳总结： 【练习1-1】解下列不等式： (1)； (2). (3) 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【解析】 (1)因为， 所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集为或. (2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝ 所以原不等式的解集为. (3)解：即， 则对应方程的根为， ①当或时，原不等式的解集为， ②当或时，原不等式的解集为， ③当时，原不等式的解集为. 【练习1-2】解关于x的不等式． 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 分，，三种情况进行讨论，在时直接求解范围，在与时判断的正负，有根的情况下判断根的大小，即可的解. 【详解】 解：（1）当时，原不等式，解得， 不等式解集为； （2）当时，， 开口向上，由图象得： 若时，， 的两个零点为，， 不等式的解集为； 若时，，不等式解集为； （3）当时，， 的两个零点为， 开口向下， 由图象得不等式解集为； 综上可知，当时不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 题型二 分式、绝对值、高次不等式及其解法 【例2-1】不等式的解集为（       ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】 【分析】 将分式不等式等价转化为整式不等式，求解即可. 【详解】 原不等式变形为，即，且，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：. 【例2-2】解下列不等式： （1）＜0； （2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0. 【答案】（1）(－∞， －2)∪(1, 2)；（2）{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}． 【解析】 【分析】 （1） 解法1：由原不等式等价于 或 求解；解法2：利用穿根法求解； （2）由 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1，利用穿根法求解. 【详解】 （1） 解法1：原不等式等价于或 ， 解得1＜x＜2或x＜－2， 综上，所以原不等式的解集是{x|1＜x＜2或x＜－2}． 解法2：原不等式等价于(x＋2)(x－1)(x－2)＜0， 所以由穿根法可得原不等式的解集为(－∞， －2)∪(1, 2)． （2） 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1， 所以由数轴标根法可得原不等式的解集为{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}． 【例2-3】不等式的解集是____. 【答案】或 【解析】 【分析】 根据给定不等式，分段去绝对值符号求解作答. 【详解】 当时，，解得，则有， 当时，，解得，则有， 所以原不等式的解集是：或. 故答案为：或 【例2-4】不等式的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】 根据零点分段法讨论的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果. 【详解】 当时，原不等式可化为，无解； 当时，