微专题 二项式系数和与系数和 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

微专题：二项式系数和与系数和 【考点梳理】 1.二项式系数的性质 二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下： (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C__得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T＋1的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2. ①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【典例剖析】 典例1．在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（       ） A． B． C． D． 典例2．设，若，则展开式中系数最大的项是（       ） A． B． C． D． 典例3．若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含项的系数是（       ） A．120 B．320 C．100 D．300 典例4．若，且，则实数的值可以为（       ） A．1或 B． C．或3 D． 典例5．已知，则（       ） A． B． C． D． 【双基达标】 6．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（       ） A．45 B．-45 C．120 D．-120 7．已知，若，则（       ） A．992 B．－32 C．－33 D．496 8．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（       ） A．299 B． C．300 D． 9．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（       ） A． B． C． D． 10．若，则的值是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．设若，则展开式中二项式系数最大的项是（       ） A． B． C． D． 12．已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（       ）． A．-14 B．-13 C．1 D．2 13．若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（       ） A．240 B．－240 C．160 D．－160 14．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（       ） A．-40 B．-20 C．20 D．40 15．若的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（       ） A．729 B．64 C．1 D． 16．的展开式中所有不含的项的系数之和为（       ） A． B． C．10 D．64 17．已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（       ） A． B． C． D． 18．已知，则（       ） A． B． C． D． 19．已知，则（       ） A．256 B．255 C．512 D．511 20．若，则=（     ） A．244 B．1 C． D． 21．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan等于（       ） A．32 B．64 C．128 D．256 22．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（       ） A．－34 B．－672 C．84 D．672 23．若，则（       ） A．40 B．41 C． D． 24．若，则的值为（       ） A．1 B．-1 C．1023 D．1024 25．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（       ） A．1 B．243 C．121 D．122 【高分突破】 1、 单选题 26．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（n为非负整数）展开式的项