2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷10

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷10 第一试 一、填空题（每题8分，共计64分） 1．化简求值：________. 2．已知21个数排成一列，其中第一个数为，最后一个数为，其中任意连续三个数u、v、w满足：，则该数列的第15个数是________. 3．△ABC中，三边长分别为，，，则：的值为________. 4．由正方体的四个顶点构成的四面体中，有________个四面体的四个面均为直角三角形． 5．已知a，b，且，则的最小值为________. 6．定义（其中表示不超过x的最大整数）则________. 7．已知点直线，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则实数b的取值范围是________. 8．在一个十进制正整数中，如果它含有偶数（包括零）个数字8，则称它为“财富数”，否则就称它为“非财富数”那么，长度（位数）不超过n（是正整数）的所有“财富数”的个数是________. 二、解答题（共计56分） 9．（16分）设z是复数，求证：． 10．（20分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，且2b、a、c成等比数列，过点F的直线与椭圆交于M、N两点直线AM、AN分别与右准线相交于点P、Q两点，求∠PFQ的大小． 11．（20分）若对于一个非空正实数集S中的任何两个不同的元素a、b，数中至少有一个在S中，则称S为“强大的”．证明：不存在元素个数超过四个的有限强大集． 学科网（北京）股份有限公司 $