2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷8

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷8 第一试 一、选择题（每题8分，共64分） 1．已知函数，且 ，， 则满足方程的根的个数为________. 2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当时，，则________. 3．设A是集合的子集，A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值为________. 4．已知z为非零复数，和的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对应的向量的端点P在运动中所形成的图形的面积为________. 5．在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球，然后在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球．问：最多可以放入这样的小球的个数是________. 6．已知，则________. 7．已知点A、B为抛物线上在y轴两侧的点，过点A、B做抛物线的切线与x轴围成的三角形面积的最小值为________. 8．关于x、y的不定方程的全部正整数解为________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）在△ABC中，∠C为钝角，三边长a、b、c满足 ， 证明：． 10．（20分）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，数列的前n项和为．求证：对任意的，． 11．（20分）已知椭圆C的中心为原点，点它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A、B两点，且当直线l垂直于x轴时，． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P满足△ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $