2023届浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高三上学期第一次联考数学试题

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第一次联考 数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为, 集合, 则( ) A. B. C. D. 2. 若复数, 则( ) A. B. 复数在复平面上对应的点在第二象限 C. 复数的实部与虚部之积为 D. 3. 的展开式中的常数项为( ) A. B. 60 C. 64 D. 120 4. 《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑。在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，, 且, 则四面体外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 5. 已知正实数满足 , 则的最小值为( ) A. B. 2 C. D. 6. 已知点, 直线, 动点到点的距离和它到直线的距离之比为 , 则的最大值是( ) A. B. 7 C. D. 7. 已知函数的定义域为, 且为偶函数, 若 , , 则的值为( ) A. 107 B.118 C.109 D. 110 8. 已知向量满足, 则向量与夹角的最大值是( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分. 9. 盒中装有大小相同的5小球 (编号为1至5), 其中黑球3个, 白球2个. 每次取一球 (取后放回), 则( ) A. 每次取到1号球的概率为 B. 每次取到黑球的概率为 C. “第一次取到黑球” 和 “第二次取到白球” 是相互独立事件 D. “每次取到3号球” 与 “每次取到4号球” 是对立事件 10. 已知函数, 其中表示不大于的最大整数, 如: , 则( ) A. 是增函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 是偶函数 11. 设抛物线的焦点为, 过点的直线与交于两点, 的准线与轴交于点, 为坐标原点, 则( ) A. 线段长度的最小值为4 B. 若线段中点的横坐标为2 , 则直线的斜率为1 C. D. 12. 已知函数, 若存在, 使得 成立, 则( ) A. 当时， B. 当时， C. 当时, D. 当时, 的最小值为 三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13.函数 的最小正周期为____________. 14.毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形, 因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。毕达哥拉斯树的生长方式如下: 以边长为1的正方形的一边作为斜边, 向外做等腰直角三角形, 再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形, 得到2个新的小正方形, 实现了一次生长, 再将这两个小正方形各按照上述方式生长, 如此重复下去, 设第次生长得到的小正方形的个数为, 则数列的前项和____________. 15.已知正四棱柱, 则直线与平面 所成角的正弦值为____________. 16.设直线与圆 交于两点, 当面积的最大值为2时, 的值为____________. 四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知的内的的对边分別为, 且. (I) 求; (II)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题。 若为的____________, 求的面积. 注: 如果选择多个条件分別解答，则按第一个解答计分. 18.已知数列的各项均为正数, 记为的前项和, 且）. (I) 求证：数列是等差数列, 并求的通项公式: (II) 当时, 求证： . 19.如图, 在四棱锥中, 平面平面, 是的平分线, 且. (I) 若点为棱的中点, 证明：平面; (II) 已知二面角的大小为, 求平面和平面的夹角的余弦值. 20.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升, 20