2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷4

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷4 第一试 一、填空题（每题8分，共64分） 1．首项为1的数列各项不全为正，若对任意正整数n有： 则________. 2．已知，若存在实数m以及，使得 ． 则________. 3．关于x的不等式的解集为________. 4．已知复数满足，，则________. 5．若关于x的不等式总有非零实数解，则实数a的取值范围是________. 6．在正四面体ABCD中，棱AD的中点和面BCD中心的连接线段为MN，棱CD的中点和面ABC中心的连接线段为PQ，则异面直线MN与PQ所成的角为________. 7．设一个离心率为的椭圆的焦点在x轴上，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的弦．若在左准线上存在点R，使得三角形PQR为正三角形，则直线PQ的斜率为________. 8．将1~16这16个正整数随机地填入4×4的棋盘的16个格子中（每个格子填写一个数），则使每行、每列所填数之和均为偶数的概率是________. 二、解答题（共56分） 9．（16分）已知三角形ABC的外心为O，且 ． 求的最小值． 10．（20分）设函数，x，满足： （1）对任意a，，都有； （2）对任意的，都有，令． 求证：． 11．（20分）已知椭圆，抛物线，且、的公共弦AB过椭圆的右焦点．问是否存在m、p，使抛物线的焦点恰好在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由． 第二试 1．（40分）圆内接四边形ABCD中存在一点P，得． 证明：． 2．（40分）已知正实数a、b、c满足，证明： ． 3．（50分）设质数，证明：存在正整数、n，m，，，使得，且． 4．（50分）设，A是M的子集．若，且存在x，，，，则称A为“好集”．求最大的，使含a的任意33元子集为“好集”． 学科网（北京）股份有限公司 $