2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷3

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷3 第一试 一、填空题（每题8分，共64分） 1．若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆的方程为________. 2．实数x、y满足，则的最大值是________. 3．四面体ABCD中，CD⊥BC，AB⊥BC，，，平面BCD与平面ABC成45°的二面角，则点B到平面ACD的距离为________. 4．二次函数的图象经过点和,若其与x轴的两个交点C、D的距离满足，则函数的具体表达式为________. 5．所有能使为质数的正整数n的倒数和为________. 6．已知函数对任意的恒有意义，则实数a的取值范围是________. 7．设数列的前n项和为．已知满足，，．则数列的通项公式为________. 8．设三位数，若a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n有________个． 二、解答题（共56分） 9．（16分）已知，，满足当时，恒成立，求k的取值范围． 10．（20分）双曲线的一条准线与实轴相交于点A，过点A引一条直线和双曲线交于M、N两点，又过右焦点引一条垂直于MN的直线和双曲线交于P、Q两点．求证明：． 11．（20分）设x、y、z均取正实数，且．求三元函数 的最小值，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 $