2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷1

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）预测卷1 第一试 一、填空题（每题8分，共64分） 1．已知．定义，其中则________. 2．已知数列满足：，，，，则的最大值为________. 3．设a为实数，且存在复数z满足和，则a的取值范围是________. 4．正实数u、v满足，，则使得成立的所有实数对组成的集合是________. 5．已知点是空间直角坐标系O-xyz内一定点，过点P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于A、B、C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为________. 6．从写有数字111到999的三位数卡片中任取一张，取得的三位数，其中任意两个数码之和，都能被第三个数码整除的数的概率是________. 7．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交曲线于A、B两点（B在第一象限，A在第四象限），O为坐标原点，过A作的准线的垂线，垂足为M，则的值为________. 8．十位数同时满足下列条件： （1）； （2）； （3）每一位数字都至少有一个相邻数位上的数字与其奇偶性相同． 这样的十位数的个数为________个． 二、解答题（共56分） 9．（16分）在△ABC中，已知 ． 求的最大值． 10．（20分）已知，其中满足，且对任意x，，都有 ， 记，． 求的值． 11．（20分）设双曲线，，且．，其中．过点N的直线l交双曲线E于A、B两点，过点B作斜率为的直线交双曲线E于点C．求证：A、M、C三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $