专题2.1 将军饮马模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题2.1 将军饮马模型 【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝　 　，C′B＝　 　， ∴AC+CB＝AC+CB′＝　 　． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 【思路点拨】 利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决． 【解题过程】 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝CB'，C′B＝C'B'， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 故答案为：CB'，C'B'，AB'； 拓展应用：如图，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'， ∵BC＝BC'，BD平分∠CBC'， ∴BD垂直平分CC'， ∴PC＝PC'，P'C＝P'C'， ∴PC+PM＝PC'+PM＝C'M， ∵C'P'+P'M'＞C'M， ∴PC+PM＜P'C+P'M'， ∴点P即为所求． 1．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，此时PC+PB的值最小，求出BD的长即可． 【解题过程】 解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点， ∵OE为∠AOB的角平分线， ∴DP＝CP， ∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小， ∵∠AOB＝30°，OB＝6， ∴BD＝3， 故选：A． 2．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 【思路点拨】 连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值． 【解题过程】 解：如图所示，连接BM， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴AM+CM＝BM+CM， 当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长， 又∵AC＝4，BC＝6， ∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10， 故选：D． 3．（2020秋•自贡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【思路点拨】 连接AM，由垂直平分线的性质可得AM＝CM，所以△CDM周长的最小值为AD+CD的长，分别求出AD、CD的长即可求解． 【解题过程】 解：连接AM， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AM＝CM， ∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD， ∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长， ∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵BC＝6，△ABC的面积是24， ∴AD＝8， ∵BC＝6，D是BC的中点， ∴CD＝3