1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列（人教A版2019选择性必修第一册）

§1.4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 第2课时　 空间中直线、平面的平行、垂直 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 知识点二　空间中直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点三　空间中平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点四　空间中直线、平面的平行 ⑴线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. ⑵线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. ⑶面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点五　空间中直线、平面的垂直 ⑴线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. ⑵线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α， 则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. ⑶面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【题型目录】 题型一、直线的方向向量 题型二、求平面的法向量 题型三、证明线线平行 题型四、证明线面平行 题型五、证明面面平行 题型六、证明线线垂直 题型七、证明线面垂直 题型八、证明面面垂直 题型一、直线的方向向量 1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（       ） A．（2，1，3） B．（4，1，6） C． D． 2．分别写出x轴、y轴、z轴的一个方向向量的坐标． 3．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，，H是的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量． 题型二、求平面的法向量 4．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 题型三、证明线线平行 5．在四棱锥中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，．若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行． 题型四、证明线面平行 6．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点． 求证：平面； 题型五、证明面面平行 7．如图，正方体中，、分别为、的中点．用向量法证明平面平面； 题型六、证明线线垂直 8．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．证明：PN⊥AM． 题型七、证明线面垂直 9．如图，四棱锥中，底面，，，，是的中点． 求证：（1）；（2）平面． 题型八、证明面面垂直 10．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（       ） A． B． C． D． 3．（多选）已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（       ） A． B． C． D．直线，夹角的余弦值为 4．如图，在长方体中． (1)写出直线的一个方向向量； (2)写出平面的一个法向量； (3)写出与，共面的两个向量． 5．已知，求平面的一个法向量的坐标. 6．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 7．如图，在直四棱柱中，，，，．求证：； 8．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角. （1）平面； （2）平面平面. 1．如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，若，，则是（       ） A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 3．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 4．如图