第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷）数学苏教版高二选择性必修第二册

第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示可得答案. 【解析】因为，所以. 故选：A 2.已知直线方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故选：A. 3.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 4.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【分析】设和之间的夹角为，根据向量在向量上的投影向量为求出即可求解. 【详解】设和之间的夹角为，因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以， 所以. 故选：D. 5.已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用与垂直，可得，求出，从而代入向量模的坐标公式求解. 【详解】由题意得，因为与垂直， 所以，解得. 所以，所以. 故选：B 6.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得. 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是，， 又为的中点，则，，,， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角正弦值为. 故选：D 7.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】以为基底，表示向量，用向量数量积的方法求向量的模. 【解析】以为基底，则，，，. ， 所以，即的长为. 故选：C 8.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可. 【详解】 以为原点建立空间直角坐标系，必有，，， ，设，而，， 由题意得，故，得，故， 故，，易知面法向量， 故， 若最大，则最大， 由二次函数性质得当时，最大， 此时，， 此时最大，且，显然A正确. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C 若，则，，，四点共面 D. 若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】首先分析题意，利用投影向量，共面向量基本定理，向量的基底，向量的正交逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A：由于 则在的投影向量为,故A错误; 对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故 整理得故 故故B正确； 对于C：由于对于 故四点不共面，故C错误. 对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即 所以在基底下满足 整理得解得故，解得， 则在基底下的坐标为故D正确. 故选：BD 10.如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线与平面的夹角正切值为 D. 【答案】BCD 【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线AP与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为， ， 设，设， 即. A：， 因为， 所以， 而平面， 所以直线平面，因此本选项结论正确； B：侧面的对角线交点为，所以，， 而平面，平面， 所以，而平面， 所以平面， 为定值，因此本选项结论正确； C：， 设异面直线AP与所成角为， 则有， 当时，； 当时，， 因为，所以， 因此， ，即，所以， 综上所述：，所以本选项结论不正确； D：设平面的法向量为，， 所以有， 直线与平面所成角的正弦值为： 因为，所以当时，有最小值，最小值为， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，因此本选项结论正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为________. 【答案】1 【分析】利用空间共面向量定理求解即可. 【详解】∵,, ∴,，， ∵四点共面，故根据空间向量基本定理 可知存在实数，使得， 则有 ，解得， 故答案为：. 13.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【分析】根据与平面的法向量垂直可求出，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14.已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是______． 【答案】## 【分析】令，根据题设，，进而有，利用数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果. 【详解】由题设，，则，， 令，则，所以，则， 故， 所以 ， 故当时，取得最小值，此时坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量，， （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算； （2）根据空间向量夹角公式直接计算即可； （3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为. 16.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）G为AD的中点，证明见解析. 【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，写出各点坐标，求得向量，由证明垂直； （2）设G(x，0，z)，求出平面内两个不共线向量，由和求得确定点位置． 【详解】（1）证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F. ＝，＝(0，a，0)． ∵＝0，∴，即EF⊥CD. （2）设G(x，0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB，则需且 由＝·(a，0，0) ＝a＝0，得x＝； 由＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，即G为AD的中点． 17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）取的中点，证得且，得到以四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合，即可求解； （3）由（2）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接，因为且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则, 所以，则 可得，所以， 则点到直线距离为. （3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18.如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， （1）求二面角的正弦值; （2）为线段上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，进而得到正弦值； （2）根据为线段上一点，设，，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列式即可求解. 【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 所以二面角的正弦值为. （2）设，， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或，因为，所以， 故 19.在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，的长度为. 【分析】（1）根据余弦定理得到和，再由线面垂直的判定条件得到平面，然后证明平面，进而证明. （2）建立空间直角坐标系，根据点在棱上设出，再求出两个半平面的法向量，根据二面角的大小得到关于的方程，解方程即可求得点的位置. 【详解】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得， 代入数值解得， 所以，所以. 又因为，M是BC的中点， 所以，， 所以在中，，， 解得， 所以，所以. 因为，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以. 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. （2）由（1）得，平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知，. 假设存在符合题意的点， 所以设 所以， 设平面的法向量为， 由，得到，取，所以， 所以平面的法向量为 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，所以， 此时，所以. 综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A. 1 B. C. D. 5.已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　） A. B. C. D. 6.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C 若，则，，，四点共面 D. 若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10.如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线与平面的夹角正切值为 D. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线AP与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为________. 13.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 14.已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量，， （1）求的值； （2）求； （3）求的最小值. 16.如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18.如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， （1）求二面角的正弦值; （2）为线段上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段的长. 19.在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $