1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系专项训练-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

§1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 考法1：求平面的法向量 【例1.1.】 已知点，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【例1.4.】 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 【例2.1.】 已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【例2.2.】 已知为直线l的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列说法正确的个数为（　　） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【例2.3.】 给出以下命题，其中正确的是（    ） A．平面的法向量分别为，则 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 考法3： 用向量的方法证明空间中的平行关系 【例3.1.】 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，. 证明：平面DEF. 【例3.2.】 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 【例3.3.】 如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED. （1）证明:BD1⊥AC； （2）证明:BD1∥平面ACE. 【例3.4.】 在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【例3.5.】 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 【例4.1.】 如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【例4.2.】 已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面.    【例4.3.】 （多选）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 【例4.4.】 如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【例4.5.】 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【例4.6.】 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 考法1：求平面的法向量 【例1.1.】 已知点，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据法向量的求法求得正确答案. 【详解】，设平面的法向量为， 则，则，只有A选项符合. 故选：A 【例1.2.】 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】是正方形，且， ， ， ，，，， ，， 又， ，， 平面的法向量为， 则，得，， 结合选项，可得， 故选：C. 【例1.3.】 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 【例1.4.】 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用进行验证． 【详解】，， 若，则，，，A错； 若，则，，，B错； 若，则，，，C错； 若，则，，，D正确． 故选：D． 【例1.5.】 设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值. 【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行， 即，解得. 故选：A. 考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系 【例2.1.】 已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【详解】因为，， 所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 所以或. 故选：D. 【例2.2.】 已知为直线l的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列说法正确的个数为（　　） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】运用空间向量判断线、面位置关系即可. 【详解】因为为直线l的方向向量，,是平面，的法向量（，是不同平面）， 对于①，若，则， 由于不确定直线l是否在平面内，当直线l在平面内，则不成立，故①不成立； 对于②，若，则，故②正确； 对于③，若，则，故③正确； 对于④，若，即也是平面的法向量，所以，故④不成立． 故选：B. 【例2.3.】 给出以下命题，其中正确的是（    ） A．平面的法向量分别为，则 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，由两平面的法向量是否共线进行判断，对于B，由直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零判断，对于C，由两直线的方向向量数量积为零进行判断，对于D，求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解. 【详解】对于A，若，则，所以，此方程组无解，所以与不共线，所以不平行，所以A错误， 对于B，因为，所以，所以或∥，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以l与m垂直，所以C正确， 对于D，由，得，因为向量是平面的法向量，所以，得，所以，所以D错误， 故选：C 考法3： 用向量的方法证明空间中的平行关系 【例3.1.】 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，. 证明：平面DEF. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量中的线面关系证明即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 因为，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面. 【例3.2.】 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求证. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， ，， ． 显然平面的一个法向量为， 而， ∵，平面，∴MN//平面BCE． 【例3.3.】 如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED. （1）证明:BD1⊥AC； （2）证明:BD1∥平面ACE. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以中点为原点，中点为，方向为轴，方向为轴，方向为轴，采用建系法即可证明BD1⊥AC； （2）设E(x，y，z)，由A1E=2ED，求出点坐标，再设=λ+μ，求出对应值，即可证明BD1∥平面ACE 【详解】（1）设AC与BD交于点O，A1C1与B1D1交于点O1，连接OO1，设AB=a，AA1=b.如图，建立空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，A，B，C，D， A1，D1， ∴=(-a，0，b)，=(0，a，0)， ∴·=0，∴BD1⊥AC. （2）设E(x，y，z)，∵A1E=2ED，∴=2，即x，y+a，z-b=2， 解得x=-a，y=-a，z=，即E， ∴=. 设=λ+μ(λ，μ∈R)，则(-a，0，b)=λ(0，a，0)+μ， 即解得 即=+3. ∴共面，又BD1⊄平面ACE， ∴BD1∥平面ACE. 【例3.4.】 在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【例3.5.】 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系 【例4.1.】 如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 【例4.2.】 已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】 分别取,的中点,证明平面，建立空间直角坐标系，分别求得相关点坐标和相关向量的坐标，计算出平面和平面的法向量，由坐标运算得两法向量垂直即可推理得到. 【详解】 在中，且，由余弦定理， 得解得，得. 在中，，则为正三角形.    如图，取的中点O，连接，则，又平面平面， 平面平面平面，所以平面. 取的中点E，连接OE，则，而，所以， 由平面，所以 故可以O为原点，以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以 设平面和平面的一个法向量分别为， 则 令，则， 所以，所以， 故平面平面. 【例4.3.】 （多选）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】建立适当的空间直角坐标系，设出点，由题意，从而可得，对于A，只需验证是否成立即可；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，令，判断关于的方程是否有解即可；对于D，求出平面的法向量，验证是否成立即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 设， 则， 由， 可得，即， 又，则， 故，故选项A判断正确； 由， 可得， 则两向量与不垂直，故与不垂直，故选项B判断错误； 又， 令，则有，解之得 此时均成立. 故点必在线段上，故选项C判断正确； 设平面的一个法向量为， 又. 则，令，则，则， 由， 可得，又平面， 则平面，故选项D判断正确. 故选：ACD. 【例4.4.】 如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 【例4.5.】 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 【例4.6.】 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A，由，得到方程组，找到符合题意的点，即可判断B，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断C，设点的坐标根据条件列出方程组，即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 对于A，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，即存在点，使得，故A正确； 对于B：设，则，，， 若平面，因为平面，所以，， 即，则，显然满足题意， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故C错误； 对于D，设，则，，若存在点，使得， 由，，可得方程组， 化简可得，解得， 显然当时满足题意，即存在点，使得，故D正确； 故选：C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$