1.4.3 夹角问题-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第2课时　夹角问题 知识点一　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． 知识点二　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型目录】 题型一、两条异面直线所成的角 题型二、直线与平面所成的角 题型三、两个平面的夹角 题型一、两条异面直线所成的角 1．如图，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一点P满足，则（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】设，构建空间直角坐标系，令且，求出，，再由向量垂直的坐标表示列方程，结合点P的唯一性有求参数a，即可得结果. 【详解】由题设，构建如下图空间直角坐标系，若，则，，且， 所以，，又存在唯一的一点P满足， 所以，则，故，可得，此时， 所以. 故选：D 2．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点． (1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦； (2)求点A到平面BDF的距离． 【分析】（1）利用空间向量求异面直线夹角，根据，运算求解；（2）利用空间向量求点到面的距离，根据，运算求解． 【详解】(1)在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图． 由已知AB＝＝1， 可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）． 又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°， 又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝ 从而易得 ∵＝＝（－1，0，1）． 设异面直线AE与BF所成的角为， 则． 即异面直线AE、BF所成的角的余弦为 (2)设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量． ＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）． 由 ∴ ，即 取＝ 所以点A到平面BDF的距离 3．如图，在三棱柱中， 面，，，为的中点. (1)求证：面； (2)求异面直线和所成角的大小. 【分析】(1)只需连接交于点，证明即可； (2)建系，写出的坐标即可. 【详解】（1）如图所示， 连接交于点，连接则是的中点又是的中点面，面面 （2）建立如图所示空间直角坐标系， 则异面直线和所成角 题型二、直线与平面所成的角 4．如图所示，在直四棱柱中，， (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】（1）构造空间直角坐标系，求出的坐标，由向量数量积的坐标运算判断它们的位置关系即可； （2）求面的法向量、的方向向量，利用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值. 【详解】（1）以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， （2）设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为，而， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 5．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接交于，连接, 是菱形，是中点，又是中点面,面面 （2） 过作于，连接在， ，,连接， 菱形又在中,由余弦定理解得即故以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示坐标系则平面的法向量又故直线与平面所成角的正弦值为. 题型三、两个平面的夹角 6．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，DE＝2BF＝2AB． (1)证明：平面平面CDE． (2)求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1） 因为平面，平面ABCD，所以， 又平面ABF， 平面ABF，可得：平面ABF； 因为四边形ABCD是正方形，所以，同上有平面ABF； 因为平面，平面CDE，； 所以平面平面CDE． （2） 由题意可知DA，DC，DE两两垂直，则以为原点，分别以，， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系； 设，则，，，， 从而，， 设平面CEF的法向量为，则， 令，得， 平面ABF的一个法向量为， 故， 即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值为． 7．如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB． (1)求证：； (2)求平面E