专题2.4 与几何相关的应用（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.4 与几何相关的应用 【典例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【思路点拨】 以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【解题过程】 解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E， ∴EQBQ， ∵CQ＝t， ∴BQ＝16﹣t， ∴EQ＝8t， ∴EC＝8t+t＝8t． ∴2t＝8t． 解得：t． 如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E， ∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°， ∴四边形DEQC是矩形， ∴DE＝QC＝t， ∴PE＝t，QE＝CD＝12． 在Rt△PEQ中，由勾股定理，得 PQ． 16﹣t， 解得：t； 如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E， ∵CQ＝t， ∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t， ∵PD＝2t， ∴CE＝2t， ∴BE＝16﹣2t， 在Rt△BEP中， （16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2， 3t2﹣32t+144＝0， △＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0， 故方程无解． 综上所述，t或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形． 1．（2021春•长兴县月考）把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（　　） A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm3 【思路点拨】 先设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，列出方程，求出长方形盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算即可． 【解题过程】 解：设剪掉的长方形盒子的高为xcm，根据题意得： 2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）＝550， 整理得：x2+20x﹣525＝0， 解得：x1＝15，x2＝﹣35（不合题意，舍去）， ∴40﹣2x＝40﹣2×15＝10，20﹣x＝20﹣15＝5． ∴长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm， 此时长方体纸盒子的体积为：15×10×5＝750（cm3）， ∴此时长方体纸盒子的体积为750cm3． 故选：A． 2．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（　　）cm． A． B． C． D． 【思路点拨】 根据中央矩形的长＝封面的长﹣2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽﹣2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可； 【解题过程】 解：设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm． ∵一本书的封面长为27cm，宽为21cm， ∴中央矩形的长为（27﹣18x）cm，宽为（21﹣14x）cm，中央矩形的面积为（27﹣18x）（21﹣14x）cm2． 由题意，得（27﹣18x）（21﹣14x）＝（1）×27×21， 解得x1，x2（不合题意舍去）． ∴上下边衬的宽为：cm， 左右边衬的宽为：cm． 故选：C． 3．（2022•随县一模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（　　） A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2 【思路点拨】 设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于x，y的方程组，利用（②﹣①）÷3可得出x＝y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出y值，进而可得出x的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论． 【解题过程】 解：设矩形的长为xcm，宽为ycm， 依题意，得：， （②﹣①）÷3，得：y﹣x+1＝0， ∴x＝y+1③． 将③代入②，得