第07讲 导数中的5种同构函数问题-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第7讲 导数中的5种同构函数问题 【考点分析】 考点一：常见的同构函数图像 八大同构函数分别是：，，，，，，，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系． 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8 考点二：常见同构方法 （1）（2） （3）（4） 【题型目录】 题型一：利用同构解决不等式问题 题型二：利用同构求函数最值 题型三：利用同构解决函数的零点问题 题型四：利用同构解决不等式恒成立问题 题型五：利用同构证明不等式 【典例例题】 题型一：利用同构解决不等式问题 【例1】（2022·河南·模拟预测（理））不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合不等式特点，构造函数，研究其单调性，从而求出解集. 【详解】 设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数．原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为． 故选：B 【例2】（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知，，则下列关系式不可能成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数判断其单调性可判断AB； 构造函数，，利用导数判断单调性可判断CD. 【详解】 对于，两边取对数得， 即， 构造函数，， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 若，则，即，故A正确； 若，则，，故B正确； 构造函数，， ，当时，，单调递增，所以， ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，， 所以时，即， 所以成立，不可能成立，故C正确D错误. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否. 【例3】（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析. 【详解】 因为，所以， 令，所以，对函数求导： ，   由有：， 由有：，所以在单调递增，在 单调递减，因为，由有：， 故A错误； 因为，所以，由有：， 故D错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，故C正确； 令 有： =，当，.所以 在单调递增，当时，， 即，又，所以， 因为，所以，因为在 内单调递减，所以，即，故B错误. 故选：C. 【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）若x，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项. 【详解】 设，则（不恒为零）， 故在上为增函数，故， 所以，故在上恒成立， 所以， 但为上为增函数，故即， 所以C成立，D错误. 取，考虑的解， 若，则，矛盾， 故即，此时，故B错误. 取，考虑， 若，则，矛盾， 故，此时，此时，故A错误， 故选：C. 【点睛】 思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数. 【例5】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知、，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由可得出，构造函数可得出，可得出，由可得出，构造函数可得出，然后构造函数可得出，再对所得等式进行变形后可得出合适的选项. 【详解】 由可得，由题意可知， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，由可得， 所以，，由可得，则，且，① 由可得，则，由题意可知， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 由，即，可得，所以，， 由可得，且，则，② 令，其中，则，所以，函数在上为增函数， 由①②可得，所以，，可得， 由可得，则， 因为，则， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查指对同构问题，需要对等式进行变形，根据等式的结构构造合适的函数，并利用函数的单调性得出相应的等式，进而求解. 【题型专练】 1.（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知，且满足，为自然对数的底数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可. 【详解】 解：因为在上单调增，，所以，故A、D错误；