第06讲 导数的极值与最值题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第6讲 导数的极值与最值题型总结 【考点分析】 考点一：函数的驻点 若，我们把叫做函数的驻点． 考点二：函数的极值点与极值 ①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点 ②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点 考点三：求可导函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点. 考点四：函数的最值 一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。 求函数最值的步骤为： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【题型目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数的值 题型三：根据极值、极值点求参数的范围 题型四：利用导数求函数的最值（不含参） 题型五：根据最值求参数 题型六：根据最值求参数范围 【典例例题】 题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】 利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例1】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( ) A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； 所以当时，函数取得极小值， 极小值为. 故选：A. 【例2】(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( ) A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为函数在图象在处的切线方程为， 所以，，解得，. 由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A. 【例3】若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图： 可知有小于0的根需要，所以选择B 【例4】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数． (1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由； 【答案】(1)存在；极小值 【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果； 【解析】(1)由，可得， 则， 令，其中，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以存在，使得， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，函数取得极小值． 【例5】（2022·江苏苏州·模拟预测）函数． (1)求函数在上的极值； 【答案】(1)极大值，；极小值，； 【分析】（1）由题可得，进而可得； 【解析】(1)∵， ∴，， 由，可得，或， ∴，单调递增，，单调递减，，单调递增， ∴时，函数有极大值，时，函数有极小值； 【题型专练】 1.已知e为自然对数的底数，设函数，则 A．1是的极小值点 B．﹣1是的极小值点 C．1是的极大值点 D．﹣1是的极大值点 【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：，当时，，当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值，是函数的极小值点，故选B. 考点：导数与极值 2.（2022福建省福建师大附中高二期末多选）定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ） A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点 C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点 【答案】AD 【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，． 设，， 当时，，，，同理时，，∴是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选：AD. 3.（2022江西高三期中（文））已知函数，，其中. （1）求函数的极值； （2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【解析】 （1）函数的定义或为， ， 若，恒成立，此时在上单调递增，无极值； 若时，，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当时，有极小值，无极大值. （2），则，其中，， ，且，， ， 当且仅当时取等号， 当，时，取最小值1. 题型二：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意