集合专题：集合中的5种参数问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

集合专题：集合中的5种参数问题 一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 题型一 根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【解析】因为，且， 所以或，解得或或， 当时，即集合不满足集合元素的互异性，故， 当时集合不满足集合元素的互异性，故， 当时满足条件；故选：A 【变式1-1】已知，则实数______． 【答案】，或 【解析】因为， （1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去； （2），解得或； （3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去； 综上可知，实数a的取值可以为或或. 【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 【变式1-3】若集合，且，则实数___________. 【答案】或. 【解析】由题意，集合，且， 若时，可得，此时集合，符合题意； 若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若时，可得或（舍去）， 当时，集合，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 题型二 根据元素个数求参数 【例2】若恰有三个元素，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】恰有三个元素， ， ，即. 故答案为：. 【变式2-1】若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________． 【答案】 【解析】①若，则，解得， 满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为二次方程， 集合A有且只有一个元素等价于，解得. 故答案为：. 【变式2-2】已知集合. （1）若A是空集，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时集合，当时集合；；（3） 【解析】（1）是空集，且， ，解得， 的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所求，当时集合，当时集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得时中至少有一个元素，即 【变式2-3】由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么. （1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或或；（2）存在，. 【解析】（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合， 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得(舍)或，所以集合 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得或(舍)或所以集合或 综上所述：或或. （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即， 当时，则无意义，当时，则无意义， 所以，，并且，，即， 不妨设集合且， 当时，由题意可知，， 若，即，解得或(舍)，此时集合； 若，则不成立； 若，即(舍)， 当时，由题意可知，， 若，则（舍）， 若，则（舍）， 若，则不成立， 综上所述，集合A是存在的，. 【变式2-4】已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），由，解得，满足题意，因此． 时，中至少有一个元素，，解得，． 综上可得：的取值范围是． （2），由，解得，满足题意，因此． 时，中至多有一个元素，，解得． 综上可得：的取值范围是． 【变式2-5】数集M满足条件：若，则. （1）若，求集合M中一定存在的元素； （2）集合