江西省南昌市第二中学2022-2023学年高三上学期第一次考试数学（理）试题

南昌二中2023届高三第一次考试数学（理）试卷 命题人：何 涛 审题人：刘蓓蓓 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 4．若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（ ） A． B． C． D． 5.2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒。某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（       ） A． B．0 C． D．1 7．在展开式中，下列说法错误的是（       ） A．常数项为 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 8．已知是的一个零点，是的一个零点，，则（       ） A． B． C． D．或 9.在正方体中，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10．已知函数， 极小值点为，若且 ，则的最小值为( ) A. B. C. D. 11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，为平面上两点，且 ，为线段中点，其坐标为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，满分20分） 13．已知向量，，则=_________. 14．如图，在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它落到阴影部分的概率为______. 15.已知正四棱锥底边边长为，，分别在上，且，则平面截四棱锥的外接球的截面面积 是____________ 16．已知，若方程恰有4个不同的实数解，，，，且，则 三、解答题 17．（满分12分） 已知函数是偶函数. (1)求 ； (2)解不等式 18.（满分12分） 如图，四边形中，且，沿着翻折， 当三棱锥体积最大值时. （1） 求此时三棱锥的体积； （2） 求此时直线与平面夹角的正弦值。 19. （满分12分） 某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏.参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分。一位顾客可最多连续参加次游戏。 （1）求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望； （2）若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖.顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？ 20．（满分12分） 设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点， ． (1)求C的方程； (2)设点，直线与C的另一个交点分别为A，B，当直线的斜率存在时，分别记为． 则是否为常数，请说明理由． 21. （满分12分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)设，若恒成立，求实数的取值范围. 四、选做题 22．（满分10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）， 曲线的参数方程为（t为参数）． (1)写出的普通方程； (2) 点为曲线上任意一点，求点到曲线距离的最小值. 23．（满分10分） 已知函数． （I）设的最小值为，求； （II）若正数满足，证明：． 高三数学（理）参考答案 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】 5.【答案】C 6.【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以4为周期， 故. 7.【答案】B【解析】展开式的通项为， 由，得，所以常数项为，A正确； 由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由，，，，可知第5项的系数最大，B错误； 展开式共有项，所以第项二项式系数最大，C正确； 令，得，所有项的系数和为，D正确，故选：B. 8. 【答案】A【解析】因为，，所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，因为，所以仅有1个零点，因为，所以，因为是增函数，且，，所以，因为，，所以，所以.故选：A． 9.【答案】A 10.【答案】B【解析】，,故极小值点为，由可得，则 ，设， ， 故 11.【答案】B【解析】由题意，以为直径的圆过点，则 几何意义为：圆的半